数学建模作业一

人口模型

PB15000105 肖映泰

深圳在改革开放后迎来了巨大的发展，本人从深圳统计局获取了深圳市1979-2016年来的人口数，希望通过建立适当的模型预测深圳市接下来的人口增长情况，用以给出合理的政策建议。



这里我们采用第三列数据，即分析总人口变化规律

下面主要从两个模型入手分析和预测人口变化情况

一、指数增长模型——Malthus模型

1.模型假设

基本假设：人口的自然增长率是一个常数，或者说单位时间内人口增长量与当时的人口数成正比。

2.模型建立

设：t时刻人口数为x(t)，人口自然增长率为r

由模型假设可以得到

{x′(t)x(0)=r∗x(t)=x0{x′(t)=r∗x(t)x(0)=x0

3.模型求解

通过求解上述微分方程，可以得到x(t)=x0ertx(t)=x0ert是一个指数函数

4.模型分析

一般来说，r<<1r<<1，存在估计er≈1+rer≈1+r，由此得到x(t)≈x0(1+r)tx(t)≈x0(1+r)t，便是最基本的人口增长模型。

不足之处：尽管Malthus模型可以较为准确地预测短期内人口的变化规律，但是人口不可能无限增长，故需要对模型进行一定的修改。

二、阻滞增长模型——Logistic模型

1.模型假设

基本假设：人口的自然增长率是
19926
人口总数x(t)的线性函数

2.模型建立

令人口自然增长率为r(x)=r−s∗x(s,r>0)r(x)=r−s∗x(s,r>0)

设最大人口容量为xmxm，则有r(xm)=0r(xm)=0

带入上述表达式得到

sr(x)=rxm=r(1−xxm)s=rxmr(x)=r(1−xxm)

于是得到微分方程

⎧⎩⎨x′(t)x(0)=r(1−xxm)x(t)=x0{x′(t)=r(1−xxm)x(t)x(0)=x0

3.模型求解

利用MATLAB求解上述微分方程可得

x(t)=xm1+(xmx0−1)∗e−rtx(t)=xm1+(xmx0−1)∗e−rt

4.模型分析

两种模型对比如下

人口变化率x′(t)−tx′(t)−t图



人口函数x(t)−tx(t)−t图



可以看出，人口变化初期，Malthus模型与Logistic模型刻画情况相近，随着时间变化，Logistic模型增长率趋于0，增长放缓，从长期来看，更加符合现实情况。

需要注意的是，这两种模型只考虑了相对简单的情形，若需要更加精确的分析，还得进一步建模，这有待后续的研究。

三、模型的参数估计，检验和预报

1.选取数据

年末常住人口数 (万人)



自然增长率变化图



结合深圳的发展历程，从图中可以看出，在改革开放初期，人口稳步上升。由于1982年确定了计划生育的基本国策，人口自然增长率开始下降，但由于当时处于育龄期人口较多，1990年左右自然增长率没有显著下降，而进入21世纪后，而已看出人口增长率有明显的下降趋势。

2.参数估计

计算估计与原始数据的平方差的和关于参数r的函数，寻找最小的r作为估计参数

（1）Malthus模型

误差关于参数r 绘图如下



利用Matlab计算得到估计结果为

rx(t)=0.1065=31.41e0.1065tr=0.1065x(t)=31.41e0.1065t

(2) Loistic模型

误差关于参数R=[r,xm] 绘图如下



利用Matlab计算得到估计结果为

rxmx(t)=0.1847=1144.2=1144.21+(1144.221.41−1)∗e−0.1847t=1144.21+52.44∗e−0.1847tr=0.1847xm=1144.2x(t)=1144.21+(1144.221.41−1)∗e−0.1847t=1144.21+52.44∗e−0.1847t

3.数据检验

将预测模型和原始数据作对比得到如下结果

Malthus模型



Logistic模型



从图中可以看出，Malthus模型预测效果不太理想，而且偏差越来越大，Logistic模型预测效果比较理想。

4.人口预测

利用得到的模型预测未来10年深圳市人口总数

Logistic模型预测结果



从图中可以看出深圳未来10年人口走势趋于平缓，未来可能出现人口老龄化的问题。因此政府可以适当采取鼓励生育政策，如响应开放二胎等。

四、不足与未来工作

虽然Logistic模型在一定程度上和现实情况较为吻合，但很明显这个模型不够精确，不能反映出计划生育以及经济发展对人口增长的影响，也不能反映外来人口对总人口的影响。

未来的工作可以将这些影响以参数形式加入模型中，使得模型更具备说服力。