数论继续学习9---中国剩余定理(CRT)

数论继续学习9---中国剩余定理(CRT)

中国剩余定理，又名孙子定理o(*≧▽≦)ツ 能求解什么问题呢？问题：一堆物品3个3个分剩2个5个5个分剩3个7个7个分剩2个问这个物品有多少个？ 解这题，我们需要构造一个答案我们需要构造这个答案5*7*inv(5*7,  3) % 3  =  13*7*inv(3*7,  5) % 5  =  13*5*inv(3*5,  7) % 7  =  1这3个式子对不对，别告诉我逆元你忘了(*´∇｀*)，忘了的人请翻阅前几章复习 然后两边同乘你需要的数2 * 5*7*inv(5*7,  3) % 3  =  23 * 3*7*inv(3*7,  5) % 5  =  32 * 3*5*inv(3*5,  7) % 7  =  2 令 a = 2 * 5*7*inv(5*7,  3) b = 3 * 3*7*inv(3*7,  5) c = 2 * 3*5*inv(3*5,  7) 那么a % 3 = 2b % 5 = 3c % 7 = 2其实答案就是a+b+c因为a%5 = a%7 = 0 因为a是5的倍数，也是7的倍数b%3 = b%7 = 0 因为b是3的倍数，也是7的倍数c%3 = c%5 = 0 因为c是3的倍数，也是5的倍数所以(a + b + c) % 3 = (a % 3) + (b % 3) + (c % 3) = 2 + 0 + 0 = 2(a + b + c) % 5 = (a % 5) + (b % 5) + (c % 5) = 0 + 3 + 0 = 3(a + b + c) % 7 = (a % 7) + (b % 7) + (c % 7) = 0 + 0 + 2 = 2你看你看，答案是不是a+b+c(｡･ω･)ﾉﾞ，完全满足题意但是答案，不只一个，有无穷个，每105个就是一个答案（105 = 3 * 5 * 7） 根据计算，答案等于233,233%105 = 23如果题目问你最小的那个答案，那就是23了      以下抄自百度百科
中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

 中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an， 方程组(S)有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设 

是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设 

是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。设 

这个就是逆元了
 

 通解形式为 

 在模M的意义下，方程组(S)只有一个解： 

        我知道你们只要代码(*ﾟ▽ﾟ*)，抛代码，1,2,3，我抛//n个方程：x=a[i](mod m[i]) (0<=i<n)
LL china(int n, LL *a, LL *m){
LL M = 1, ret = 0;
for(int i = 0; i < n; i ++) M *= m[i];
for(int i = 0; i < n; i ++){
LL w = M / m[i];
ret = (ret + w * inv(w, m[i]) * a[i]) % M; //保证求出来的数字最小！！！！
}
return (ret + M) % M;
}
要不要来一道题试试手？poj 1006http://poj.org/problem?id=1006问题描述：     人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期，要求从这一天开始，算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。分析：因为23 = 2328 = 2*2*733 = 3*11满足两两互质关系，所以直接套模板就好了 AC代码：#include<cstdio>
typedef long long LL;
const int N = 100000 + 5;
void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
else{
ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
y -= x * (a / b);
}
}
LL inv(LL t, LL p){//如果不存在，返回-1
LL d, x, y;
ex_gcd(t, p, x, y, d);
return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}
LL china(int n, LL *a, LL *m){//中国剩余定理
LL M = 1, ret = 0;
for(int i = 0; i < n; i ++) M *= m[i];
for(int i = 0; i < n; i ++){
LL w = M / m[i];
ret = (ret + w * inv(w, m[i]) * a[i]) % M;
}
return (ret + M) % M;
}
int main(){
LL p[3], r[3], d, ans, MOD = 21252;
int cas = 0;
p[0] = 23; p[1] = 28; p[2] = 33;
while(~scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d", &r[0], &r[1], &r[2], &d) && (~r[0] || ~r[1] || ~r[2] || ~d)){
ans = ((china(3, r, p) - d) % MOD + MOD) % MOD;
printf("Case %d: the next triple peak occurs in %I64d days.\n", ++cas, ans ? ans : 21252); //等于0的话加MOD;
}

}

当然，这个中国剩余定理只是基础，面对更强大的敌人，我们要有更强的武器比如，m1,m2, ... ,mn两两不保证互质，辣怎么办(っ °Д °)っ  解决代码：#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> PLL;
PLL linear(LL A[], LL B[], LL M[], int n) {//求解A[i]x = B[i] (mod M[i]),总共n个线性方程组
LL x = 0, m = 1;
for(int i = 0; i < n; i ++) {
LL a = A[i] * m, b = B[i] - A[i]*x, d = gcd(M[i], a);
if(b % d != 0) return PLL(0, -1);//答案不存在，返回-1
LL t = b/d * inv(a/d, M[i]/d)%(M[i]/d);
x = x + m*t;
m *= M[i]/d;
}
x = (x % m + m ) % m;
return PLL(x, m);//返回的x就是答案，m是最后的lcm值
}遇到需要的题就去套模板吧     比如poj 2891http://poj.org/problem?id=2891【题目大意】给出k个模方程组：x mod ai = ri。求x的最小正值。如果不存在这样的x，那么输出-1.【题目分析】由于这道题目里面的ai、ri之间不满足两两互质的性质，所以不能用中国剩余定理直接求解。辣么。。。。愉快的套这个模板吧 AC代码如下:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> PLL;
LL a[100000], b[100000], m[100000];
LL gcd(LL a, LL b){
return b ? gcd(b, a%b) : a;
}
void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
else{
ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
y -= x * (a / b);
}
}
LL inv(LL t, LL p){//如果不存在，返回-1
LL d, x, y;
ex_gcd(t, p, x, y, d);
return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}
PLL linear(LL A[], LL B[], LL M[], int n) {//求解A[i]x = B[i] (mod M[i]),总共n个线性方程组
LL x = 0, m = 1;
for(int i = 0; i < n; i ++) {
LL a = A[i] * m, b = B[i] - A[i]*x, d = gcd(M[i], a);
if(b % d != 0)  return PLL(0, -1);//答案，不存在，返回-1
LL t = b/d * inv(a/d, M[i]/d)%(M[i]/d);
x = x + m*t;
m *= M[i]/d;
}
x = (x % m + m ) % m;
return PLL(x, m);//返回的x就是答案，m是最后的lcm值
}
int main(){
int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF){
for(int i = 0; i < n; i ++){
a[i] = 1;
scanf("%d%d", &m[i], &b[i]);
}
PLL ans = linear(a, b, m, n);
if(ans.second == -1) printf("-1\n");
else printf("%I64d\n", ans.first);
}
}