Ax=b的可解性、解的结构（Lec8）

1. Ax=b的可解条件（两个等价条件）

b是A的列某个线性组合（b在A的列空间中）
若A的行的某个线性组合（k1r1+k2r2+..+knrn，k1到kn均为系数）是零行向量，则RHS向量b的各分量（b1,b2,...,bn）的同种线性组合，应得到数字0（k1b1+...+knbn=0）

2. Ax=b(非齐次方程)的解结构

1.先求非齐次解的一个特解x_p（particular solution，有别于Lec7中的特解，实际上Lec7中的special solution是指A的基础解系）

A的增广矩阵[A|b]化为REF形式，确定主变量和自由变量
对自由变量做赋值后，通过对回代即可解得主变量的值，从而得到非齐次方程Ax=b的一个特解
2.再求矩阵A的零空间N(A)/求方程的齐次通解/求Ax=0的解: x_n

求解方法参照Lec7，求Ax=0的零空间的基，再取线性组合
3.Ax=b的通解为： x = x_p + x_n

然而，Ax=b的解们并不构成一个空间，虽然其含有一个空间的成分（来自于x_n，齐次通解部分是一个空间）
Ax=b的解是一个空间加上一个向量（x_p）

3. Ax=b的解的数量

设A为m*n矩阵，秩为r，则
1. 当A列满秩（r=n<=m）
此时A化为RREF形矩阵R后，具有如下形式：
\begin{bmatrix}I\\O \end{bmatrix}

则A（或者R）的每列都有主元，即每列都是主列，每个变量都是主变量，则自由变量个数为n-r=n-n=0
也就是说，此时方程的对应齐次方程的解就是零向量(只有0倍的A的列的线性组合才能得到零向量)，也即A的Null space N(A)就是零空间（Zero Space）Z（仅含有零向量的空间）
则x_particular本身就是非齐次解的所有解（唯一解）x_（如果该Ax=b可解）

结论：A列满秩时，Ax=b有0或者1个解
expl1.给定A：
\begin{bmatrix}1 &3 \\ 2 & 1\\ 6 & 1\\ 5 &1 \end{bmatrix}

其列满秩，则零空间只有一个零向量；
例如其b=(4,3,7,6)，Ax=b的特解为x_p=（1，1）
则Ax=b的解（唯一解）就是（1,1）

2. 当A行满秩（r=m<=n）
此时A化为RREF形矩阵R后具有如下形式：
\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}

（实际上并非所有的主列都位于R的最左边，也即I会和F的某些列混在一起）
则A（或者R）没有零行：根据Ax=b的可解条件的第二个，我们对于任何的b，Ax=b都有解，也即A行满秩时候，对b没有要求，
但是有一些行是自由列，因而自由变量个数为n-r=n-m
也即A的零空间N(A)

结论：A行满秩时，Ax=b的解必定存在且有无穷多个解

expl2. 给定A（实际是expl1中矩阵的转置）：
\begin{bmatrix}1&2&6&5 \\ 3&1&1&1\end{bmatrix}
其秩为2，自由变量个数为n-r=4-2=2
此时A化为RREF形矩阵R后具有如下形式：

\begin{bmatrix}1&0&?&?\\0&1&?&?\end{bmatrix}

右边两个问号列就是自由列，
也就是说Ax=b的齐次通解、A的零空间是个2维的子空间，零空间矩阵N=[-F;I]的列为零空间的基础解析 (参见Lec7)

3.当A为可逆（满秩）方阵（r=m=n）
此时A不仅行满秩还列满秩，还是方阵，还是可逆的
若将A化为RREF，一定为单位矩阵I

结论：套用1和2的条件可知对于任意的b，可逆方阵存在且具有唯一解

4. （一般情况）A不满秩（r<m且r<n）
此时A化为RREF，会有：
\begin{bmatrix}I&F\\O&O\end{bmatrix}

结论：要么无解，要么无穷多解