埃及分数问题 IDA*

  题意

在古埃及，人们使用单位分数的和（即1/a，a是自然数）表示一切有理数。 例如，2/3=1/2+1/6，但不允许2/3=1/3+1/3，因为在加数中不允许有相同的。 对于一个分数a/b，表示方法有很多种，其中加数少的比加数多的好，如果加数个数相同，则最小的分数越大越好。 例如，19/45=1/5+1/6+1/18是最优方案。 输入整数a,b。

分析

本题可以用dfs回溯来求解。但是由于本题没有指明等式数目即深度，如果dfs搜索的话是没有上限的，换句话说，如果用宽度优先遍历，连一层都扩展不完（因为每一层都是无限大的）。所以需要枚举深度，直到找到跳出即可，即迭代深度搜索。 深度上限maxd还可以用来“剪枝”。 按照分母递增的顺序来进行扩展，如果扩展到i层时，前i个分数之和为c/d，而第i个分数为1/e，则接下来至少还需要(a/b-c/d)/(1/e)个分数，总和才能达到a/b。 例如，当前搜索到19/45=1/5+1/100+…，则后面的分数每个最大为1/101，至少需要(19/45-1/5) / (1/101) =23项总和才能达到19/45，因此前22次迭代是根本不会考虑这棵子树的。 这里的关键在于：可以估计至少还要多少步才能出解。 注意，这里的估计都是乐观的，因为用了“至少”这个词。 说得学术一点，设深度上限为maxd，当前结点n的深度为g(n)，乐观估价函数为h(n)，则当g(n)+h(n)>maxd时应该剪枝。 这样的算法就是IDA*。 当然，在实战中不需要严格地在代码里写出g(n)和h(n)，只需要像刚才 那样设计出乐观估价函数，想清楚在什么情况下不可能在当前的深度限制下出解即可。

思路

（1）枚举深度maxd 
（2）dfs搜索：从满足1/c<=a/b的最小c即b/a+1开始枚举分母，深度d为表示第几个分数；每次计算的是a/b - 1/i = a2/b2 然后将a2,b2再作为a,b进行递归。 
（3）剪枝：if(bb * (maxd+1-d) <= i*aa) break;//剪枝：如果剩下的maxd+1-d个分数全部都是1/i，加起来仍然不超过aa/bb，则无解#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<sstream>
#include<map>
#include<stack>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL BIG = 1000;
LL ans[BIG],now[BIG],maxd;
LL find_best(LL a,LL b){ //满足1/c<=a/b的最小c
return b/a+1;
}
LL gcd(LL a,LL b){
return b == 0 ? a : gcd(b, a%b); //求最大公约数
}
bool better(LL depth){ //更新最优值，如果当前解now比之前最优解ans更优，则更新ans
for(LL d = depth;d>=0;d--)
if(now[d]!=ans[d]) return ans[d]==-1||now[d]<ans[d];//（1）此时的深度尚未找到解（2）当前的分母小于之前解的分母，说明当前深度为d的分数比之前的分数大，则可以替换。否则不替换
return false;
}
//当前深度为deep,接下来的分母不能小于next,接下来的分式之和恰好为aa/bb
bool dfs(LL deep,LL next,LL aa,LL bb){
bool ok;
if(deep==maxd){//此时到达了最后一层
if(bb%aa) return false; //bb不能整除aa(aa!=1)，构成不了埃及分式
now[deep] = bb/aa;//取分母
if(better(deep)) memcpy(ans, now, sizeof(long long)*(deep+1));//找到了更优的解，更新ans
return true;
}
ok = false;
next = max(next,find_best(aa, bb)); //更新next
for(LL i = next;;i++){//枚举分母
if((maxd+1-deep)*bb<=i*aa) break; //利用乐观估价函数来剪枝，从当前深度的接下来(maxd+1-deep)项分式，如果(1/i)*(maxd+1-deep)还凑不够aa/bb，则需要剪枝
now[deep] = i;//更新当前深度的分母
LL b2 = bb*i;//计算(aa/bb) - (1/i)，通分后的分母是bb*i，分子是aa*i-bb
LL a2 = aa*i-bb;
LL g = gcd(a2, b2);//计算最大公约数，用于约分
if(dfs(deep+1, i+1, a2/g, b2/g)) ok = true;
}
return ok;
}
void to_do(LL a,LL b){
int check = 0;
for(maxd = 1;;maxd++){
memset(ans, -1, sizeof(ans));
if(dfs(0,find_best(a,b),a,b)){
check = 1;break;
}
}
if(check){
for(int i = 0;i<maxd;i++) printf("1/%lld+",ans[i]);
printf("1/%lld\n",ans[maxd]);
}else{
printf("NO ANSWER!");
}
}
int main(){
LL a,b;
while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF) to_do(a,b);
return 0;
}