算法——动态规划之资源分配问题及其优化

上一篇文章写了动态规划求解0-1背包问题，这里做一道资源分配问题强化理解，顺便分析一下动态规划算法的优化问题。

问题描述：某厂根据计划安排，拟将n台相同的设备分配给m个车间，各车间获得这种设备后，可以为国家提供盈利Ci j(i台设备提供给j号车间将得到的利润，1≤i≤n，1≤j≤m) 。问如何分配，才使国家得到最大的盈利？

分析递推公式：

初始化：p[i][j]=0

然后分析一下，前i台设备分配给j个车间，考虑当前第j个车间的情况，当前车间可能分配0个设备、1个设备、2个设备、…、n个设备，这其中得到最大利润的方案即为最优方案，故有下面公式

p[i][j]=max{p[i][j],p[k][j-1]+c[i-k][j]} 其中0<=k<=i，1<=i<=n,1<=j<=m

代码如下：

int i, j, k;
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 1; j <= m; j++)
for (k = 0; k <= i; k++)//i代表了设备数目
if ((p[k][j - 1] + c[i - k][j]) > p[i][j])
{
p[i][j] = p[k][j - 1] + c[i - k][j];
f[i][j] = i - k;//用于当前计算的车间的设备数
}

优化一：

如果你在一个实例中尝试一下自己画表，你会发现，这道公式是按列计算数值的。

举个例子，2台设备分配给2个车间的盈利表（c[i][j]）如图所示



初始化最大盈利表



根据公式填表(p[i][j]=max{p[i][j],p[k][j-1]+c[i-k][j]} )

p[1][1]=max{p[1][1],p[k][0]+c[1-k][1]},0<=k<=1

p[1][1]=max{p[1][1],p[0][0]+c[1][1],p[1][0]+c[0][1]}=max{0,189,0}=189

用于计算的有下面4个数字



这样看或许还不够明确，我们来算一下p[2][2]

p[2][2]=max{p[2][2],p[k][1]+c[2-k][2]},0<=k<=2

p[2][2]=max{p[2][2],p[0][1]+c[2][2],p[1][1]+c[1][2],p[2][1]+c[0][2]}

用于计算的有下面几个数字



问题浮出水面==>这条递推公式是按照列遍历的！！学过计算机组成原理的朋友可能已经知道了，没错，就是cache的问题。

改变一下存储方式即可让遍历按照行进行！

p[i][j]=max{p[i][j],p[i-1][k]+c[i][j-k]} 其中0<=k<=j，1<=i<=m,1<=j<=n

解释一下这条新公式：其实思想没改变，就是将i、j互换，这里i代表车间数，j代表设备数，公式表示前i个车间瓜分j台设备，考虑当前第i个车间的情况，当前车间可能分配0个设备、1个设备、2个设备、…、n个设备，这其中得到最大利润的方案即为最优方案。

注意c[i][j]表示与题干不同：它表示j台设备提供给i号车间将得到的利润，1≤i≤m，1≤j≤n

优化二：

上面优化后的公式是按照行遍历的，如果你尝试自己手动画图，会发现每次求解只需要用到两行

p[2][2]=max{p[2][2],p[1][k]+c[2][2-k]},0<=k<=2

p[2][2]=max{p[2][2],p[1][0]+c[2][2],p[1][1]+c[2][1],p[1][2]+c[2][0]}



c表只用于生成p表，用完就没有作用了，如果我们在生成c表一行的同时生成p表，便只需要一个一维数组c[n+1]存储c表和一个c[2*(n+1)]的二维数组存储p表，空间复杂度下降。

p表能否优化成一维数组呢？

答案是可以的，因为求p表第i行j列数据时只需要用到c表i行和p表i-1行的前j个数据，我们只需要从后往前遍历，便不会影响到其它数据的计算



优化后代码如下：

void Dynamic_Optimization(int *cc, int *pp)
{
int i, j, k, u;
//最开始最大利润表是0
for(i=0;i<=m;i++)
{
pp[i]=0;
}
cc[0]=0;
for (i = 1; i <= m; i++)//m车间数
{
for (j = 1; j <= n; j++)
{
//初始化一列利润表cc
cc[j] = cc[j - 1] + rand() % 1000 + 1;
}
for (u = n; u >= 1; u--)//从后往前遍历
{
int max = 0;
for (k = u; k >= 0; k--)
{
if (pp[k] + cc[u - k] > max)
{
max = pp[k] + cc[u - k];
pp[u] = max;
}
}
}
}
}

思考：p只是一个一维数组，我们只能通过它得知最大利润，如何得知分配的方案呢？

如果c和p还是二维数组的时候，其实可以不用分配表application，直接算出分配方案，但现在c和p已经优化为一维数组了，没有application我们无法得知分配方案。

那么application表只能是一个二维数组吗？

有的博主是这样做的：通过结构体存储，将application表中数值为0的部分省去。结构体内定义了3个int型数据，这种方法比较适合在0较多的application表中用，否则反而可能增加空间负担，得不偿失！请慎用！

结构体定义如下：

Struct path{

Int shebei;

Int chejian;

Int num;

}P[10000];

想到结构体就想到了链表啦，如果像下图这样把每个地方的0压缩，或许可以减少一点空间负担，而且，链表不要求连续的空间



如图，把一行变成4个链表块，0的个数保存在链表块里。