【杂题】[AtCoder Regular Contest 092 E]Both Sides Merger

题意：

给出一个长度为N的数列a，有一些操作，每次操作选择一个数，使得其最终只剩下一个数：

1、选择左端/右端，删去这个数

2、选中中间的一个数，将其值替换为左右两边的数之和，然后删去左右两边的数。

现在要求使得最终的值尽可能大，求最大的值以及操作次数，选数方案（选数方案为）。

N≤1000，a数组可能有负数N≤1000，a数组可能有负数

分析：

很直观的一点是：最终剩下的数，一定是初始状态下一些数的和。

现在有一个很特殊的性质：

设最终的数为x(x=ai1+ai2+ai3+…<
177ae
span class="mo" id="MathJax-Span-59" style="font-family: MathJax_Main; padding-left: 0.159em;">…+aik)x(x=ai1+ai2+ai3+……+aik)

必须满足i1≡i2≡i3≡……≡ik(mod 2)i1≡i2≡i3≡……≡ik(mod 2)。

并且，任意一组下标满足该条件的数集，均能构造出最终的x

证明如下：

若使用1操作，删去左端，所有下标奇偶性反转，原来奇偶性相同的现在仍然相同，删去右端，所有下标无影响。

若使用2操作，设选中的数为aiai

我们可以看做：

在ai−1ai−1的位置加上ai+1ai+1的值，并且删去ai,ai+1ai,ai+1

这样一来，在i−1i−1以前的位置，下标的奇偶性不发生改变，在i+1i+1以后的位置，因为同时删去2个数，所以下标的奇偶性仍然无影响。并且，因为i−1与i+1i−1与i+1奇偶性相同，我们将二者的值加在一起，不会使得我们最终的数集中的奇偶性不同。

现在证明“任意一组下标满足该条件的数集，均能构造出最终的x”

我们设数集中某两个的相邻数为ai,aj(i<j)ai,aj(i<j)

由j≡i(mod 2)j≡i(mod 2)可得，j−i−1≡1(mod 2)j−i−1≡1(mod 2)

这句话是指，任意两个相邻数之间的数的个数，一定为奇数。

这样的话，我么可以在中间做j−i−22j−i−22次2操作，再做1次1操作，就能将这两个数合并，并且将中间的数全部删去。

对数集中所有相邻的数都做一次，就能最终变为1个数。

现在答案就很好求了，我们只需要统计在奇数位置上所有非负数的和，以及偶数位置上所有非负数的和，比较大小来选择即可。

对于如何求出答案，其实在刚才的证明中已经能够看出来了。只不过官方题解给了一个更直接的方式：

首先我们将所有最终数集中的数标号，

从前向后依次查找：

若当前的数：

A、不为端点：

其两侧均无标记，或两侧均有标记，则选择这个数，

B、为端点：

若该数未标记，选择这个数

重复这个过程直到为1个数为止。由于是从前往后依次查找，并且每找一次就重来，所以其实本质上和我写的是一样的。

当然，对于所有数都是负数的情况，我们需要特判。因为我们最开始选数的时候，选择的都是非负数，若均为负数，则我们不可能选中任何一个数。相当于最终集合为空集，不合法。这个特判很好写，找到最大值，删去前面和后面的点即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 1010
using namespace std;
long long a[MAXN],a1[MAXN],n,sum[2],used[MAXN],flag,r[MAXN],l[MAXN];
bool dele[MAXN];
vector<int> ans;
void del(int x){
ans.push_back(x+1);
a[x]=0;
memset(dele,0,sizeof dele);
memset(used,0,sizeof used);
if(x!=0){
dele[x-1]=1;
a[x]+=a[x-1];
}
if(x!=n-1){
dele[x+1]=1;
a[x]+=a[x+1];
}
for(int i=0;i<n;i++)
a1[i]=a[i];
int cnt=0;
for(int i=0;i<n;i++)
if(dele[i]==0)
a[cnt++]=a1[i];
for(int i=0;i<n;i++)
if(a[i]>0&&flag==i%2)
used[i]=1;
n=cnt;
}
void work(){
int maxid=0;
for(int i=0;i<n;i++)
if(a[i]>a[maxid])
maxid=i;
PF("%lld\n%d\n",a[maxid],n-1);
int sum=n;
for(int i=0;i<maxid;i++){
PF("%d\n",1);
sum--;
}
for(int i=n-1;i>maxid;i--){
PF("%d\n",sum);
sum--;
}
}
int main(){
SF("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
SF("%lld",&a[i]);
for(int i=0;i<n;i++)
if(a[i]>0)
sum[i%2]+=a[i];
if(sum[0]==0&&sum[1]==0){
work();
return 0;
}
if(sum[0]>sum[1])
flag=0;
else
flag=1;
for(int i=0;i<n;i++){
l[i]=i-1;
r[i]=i+1;
}
for(int i=0;i<n;i++)
if(a[i]>0&&flag==i%2)
used[i]=1;
while(n>1){
/*for(int i=0;i<n;i++)
PF("{%d}",used[i]);
PF("\n");*/
for(int i=0;i<n;i++){
if(i==0||i==n-1){
if(used[i]==0){
if(i==0)
flag^=1;
del(i);
break;
}
}
else if(used[i-1]==used[i+1]){
del(i);
break;
}
}
}
PF("%lld\n%d\n",a[0],ans.size());
for(int i=0;i<ans.size();i++)
PF("%d\n",ans[i]);
}