背包问题：01背包与完全背包

一、介绍
背包问题是最广为人知的动态规划问题，都是给定限定的背包容量与物品，求所能装下的最大价值：
完全背包：
有n种物品，每种均有无限多，第i种物品额体积为v[i]，重量（价值）为w[i]。
01背包：
有n种物品，每种只有一个，第i种物品额体积为v[i]，重量（价值）为w[i]。
在背包问题中，我们把不同种的物品设为不同的阶段，即有n各阶段。

二、状态定义
定义状态d[i][j]，表示把前i种物品装到容量为j的背包中的最大价值。
每次操作的对象是单个物品，那么对于物品有装入或者不装两种选择。

注：
示例输入：
n=3,V=9,v1=2,w1=2,v2=2,w2=2,v3=5,w3=6
三、完全背包
之所以叫完全背包，是因为每种物品均有无限多。
状态转移：
d[i][j]=max{d[i-1][j],d[i][j-v[i]]+w[i]}
max种第一项表示不装第i种，跳过此种；第二项表示装入此种，判定还留在此种。
普通实现：#include <iostream>
using namespace std;
int n,V,v[50],w[50],d[50][500];
int main()
{
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=V;j++){
d[i][j]=d[i-1][j];
if(j>=v[i])
d[i][j]=max(d[i][j],d[i][j-v[i]]+w[i]);
}
cout<<d
[V]<<endl;
return 0;
}

注：在循环中首先要先进行：d[i][j]=d[i-1][j]而不直接进行max操作，是因为若j<v[i]，d[i][j]将为0。
运行程序可得结果为10，即选择了两个第一种物品与一个第三种物品。
滚动数组实现：#include <iostream>
using namespace std;
int n,V,v[50],w[50],d[50];
int main()
{
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=v[i];j<=V;j++)
d[j]=max(d[j],d[j-v[i]]+w[i]);
cout<<d[V]<<endl;
return 0;
}


四、01背包
因为需要对每个物品进行放或不放两种状态，故为01背包。
状态转移：
因为每种物品只有一个，所以对于每种的判定也变成了每个物品的判定。
d[i][j]=max{d[i-1][j],d[i-1][j-v[i]]+w[i]}
不管放入或不放入都跳到下一种的判定。
普通实现：#include <iostream>
using namespace std;
int n,V,v[50],w[50],d[50][500];
int main()
{
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=V;j++){
d[i][j]=d[i-1][j];
if(j>=v[i])
d[i][j]=max(d[i][j],d[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}
cout<<d
[V]<<endl;
return 0;
}
运行结果为9，即放入了第二种与第三种
滚动数组：#include <iostream>
using namespace std;
int n,V,v[50],w[50],d[50];
int main()
{
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=V;j>=v[i];j--)
d[j]=max(d[j],d[j-v[i]]+w[i]);
cout<<d[V]<<endl;
return 0;
}


五、两种背包滚动数组实现对比
可以看01与完全背包在滚动数组中，只在内层循环次序不同，这是因为它们上一个状态不同导致，应回溯到其本质的状态转移方程。
对于存在两层循环的数组d[i][j]，若i递增，那么对于其滚动数组d[j]，原数组与滚动数组的对应关系为：
d[j]->d[i-1][j]
对于正数k:
j递增：d[j-k]->d[i][j-k]；d[j+k]->d[i-1][j+k]
j递减：d[j-k]->d[i-1][j-k]；d[j+k]->d[i][j+k]