数论继续学习5---数论四大定理

数论继续学习5---数论四大定理（你怕不怕(☆ﾟ∀ﾟ)老实告诉我）
数论四大定理：

1.威尔逊定理

2.欧拉定理

3.孙子定理（中国剩余定理）

4.费马小定理

 （提示：以后出现（mod p）就表示这个公式是在求余p的条件下成立）注：如果两个数a、b满足a mod p = b mod p，则称他们模p相等，记做a ≡ b（ mod p）模运算：如果执行模n运算，则每个结果值x都有集合{0，1，......，n-1}中的某个元素所取代，该元素在模n意义下与x等价（算法导论）。

一、威尔逊定理：（PS：威尔逊是个厉害人）

当且仅当p为素数时：( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )或者     这么写( p -1 )! ≡ p-1 ( mod p )或者说     若p为质数，则p能被(p-1)!+1整除 在初等数论中这是威尔逊给出了判定一个自然数是否为 素数 的 充分必要条件但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作意义不大。(´・ω・`)（威尔逊表示很伤心）但在别的地方有应用：这里引用大佬收集的资料。

  

二、欧拉定理：（PS：欧拉是个厉害人）

欧拉定理，也称费马-欧拉定理若k,m为正整数，且k,m互质，即gcd(k,m) = 1，则k^φ(m) ≡ 1 (mod m) φ(n) 是欧拉函数                         欧拉函数是求小于等于n的数中与n互质的数的数目  (o>▽<)太长看不懂？我来帮你断句
                        欧拉函数是求 （小于n的数 ）中 （与n互质的数 ）的数目或者说                        欧拉函数是求 1到n-1 中 与n互质的数 的数目 如果n是质数那么1到n-1所有数都是与n互质的， 所以φ(n) = n-1;如果n是合数。。自己算算吧，（稍后给出结论）例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质  
欧拉函数：对于正整数N，代表小于等于N的与N互质的数的个数，记作φ(N)。
 一定要分清 欧拉定理，欧拉函数和欧拉公式这3个东西，要不然你就百度不到你想要的东西了（其实我在说我自己￣ε ￣）         
三、孙子定理（中国剩余定理）：（PS：孙子是个厉害人。。。这话怎么在哪里听过( ・◇・)？好耳熟）孙子定理，又称中国剩余定理。
公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二 ，五五数之余三 ，七七数之余二，问物几何？”答为“23”。就是说，有一个东西不知道有多少个，但是它求余3等于2，求余5等于3，求余7等于2，问这个东西有多少个？”答为“23”。 用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：


中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组 (S)有解至于怎么求解，以后再讲 线性同余方程：ax  = b(mod n) 显然，它等价于存在整数y，使得ax - ny = b;    
 四、费马小定理：（PS：费马是个厉害人。。。好了最后一遍，不玩了）对于素数p和任意整数a，有a^p = a(mod p)。（算法导论） 
假如p是质数，若p不能整除a，则 a^(p-1) ≡1（mod p），若p能整除a，则a^(p-1) ≡0（mod p）。或者说，若p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。  你看你看你看o(*≧▽≦)ツ，是不是和欧拉定理很像因为欧拉定理是费马小定理的推广，所以欧拉定理也叫费马-欧拉定理（费马：欧拉是坏人（/TДT)/，盗取我的成果，然后加以利用） 顺便一提，费马大定理费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由法国数学家费马提出。它断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。   这是数论的一些基础，以后会用的上的￣ 3￣