有序全排列的题型对比，例如硬币问题和整数分解问题

题目一：输入n（1-10之间数字），将数字分解显示，如6可以显示为6，5+1，4+2，4+1+1..... 。

题目二：用递归实现，显示用1分、2分和5分的硬币凑成1元，一共有多少种方法。

      从两个题目的论述中，我们不能发现：题目一是将一个数分解成用1，2，3，4，........，9这样的数列来表示，题目二则是用特定的数列，如1，2，5，来进行分解整数。两者具有相似之处，但也应该看到我们要找到的排列是有序的，比如说：6=4+2；与6=2+4；是属于同一种方法，因此在编写程序的时候要注意这一点的区别。
      因为题目一较为简单，我们先对其进行分析。这里我们假设要分解的数字是n，使用一个栈来记录分解的数字，定义一个全局变量sum记录分解数字的和。那么递归的出口就是：sum == n。当条件满足时，说明我们找到了一种方法，这时便使用循环输出结果即可。      那么递归体呢？这里不妨采用由大到小的分解方法，假设要被分解的数是6。从大到小的分解的话，那么第一次尝试填进数组的是6，sum求和得到6，则输出这个结果，返回递归的上一层。之后尝试填入5，sum求和不等于6，则递归的进行下一次的填数，那么下一次的填数应该是填几呢？很显然应该尝试填入5（这样就能保证每次新填入的数字<=上一次的数字，使得不会出现2+4 和 4+2 的情况，有序的排列了），5+5>6，所以应减小，填4，填3.....直到填1为止。


这里我们看一下代码：int stack[10],n;
int sum=0,top = 0;
void devi(int index ){ //index初试化为 n

if(sum == n){
printf("%d=",n);

for(int i =0;i<top;i++){

printf("%d",stack[i]);
if(i!=top-1) printf("+");

}

printf("\n");
return ;
}
if(sum>n) return ;                    //若大于n，则直接返回
for(int i = index;i>=1;i--){

sum = sum+i;                //sum为全局变量，起到求和目的
stack[top++] = i;
devi(i);                    //递归的进行下一次的填数，传入i，保证了有序性
sum -=i;                    //由下一层返回到这一层，将填入的数减去，并弹出
top--;
                            //i--尝试填入较小的数
}

}好，让我们看看全部的代码：#include<cstdio>

//输入n（1-10之间数字），将数字分解显示，如6可以显示为6，5+1，4+2，4+1+1.....
int stack[10],n;
int sum=0,top = 0;
void devi(int index ){

if(sum == n){
printf("%d=",n);

for(int i =0;i<top;i++){

printf("%d",stack[i]);
if(i!=top-1) printf("+");

}

printf("\n");
return ;
}
if(sum>n) return ;
for(int i = index;i>=1;i--){

sum = sum+i;
stack[top++] = i;
devi(i);
sum -=i;
top--;

}

}

int main(){

while(scanf("%d",&n)!=EOF){

devi(n);

}

return 0;

}来看看运行的结果：



第二道题目：这道题目和上道思路是一样的，不同的是这次选择填入的数不在是1，2，3，.........9，这样连续的值，而是1，3，5。这时我们可以使用一个数组将数字存起来，用循环遍历数组下标就可以用money[i]来填数了。（自然这里的1元转换成100）
看看代码：#include <cstdio>

//用递归实现，显示用1分、2分和5分的硬币凑成1元，一共有多少种方法。

int money[3] ={1,2,5};
int stack[101],top=0,n;
int sum =0,count =0;
void fun(int index){ //index 0 1 2

if(sum == n){
count++;
/* printf("%d=",n);                    //假如你想输出组合，也是可以的
for(int i =0;i<top;i++){

printf("%d",stack[i]);
if(i!=top-1) printf("+");

}
printf("\n"); */
return ;
}
if(sum>n) return ;
for(int i =index;i>=0;i--){

sum+=money[i];
stack[top++] = money[i];
fun(i);
sum-=money[i];
top--;

}

}

int main(){

while(scanf("%d",&n)!=EOF){

fun(2);                        //这里一定是2，因为money[2] = 5,从大到小的排列

printf("种类为:%d",count);

}

return 0;

}

运行的结果图：

以上就是两个题目的介绍。对于像走楼梯的这样的问题，是不需要考虑排列的顺序的，即1+2和2+1为两个方法，那么就不需要考虑填数时要小于上次的数字了，这样就没有以上两个题目麻烦一些。自然这样的题目，或许用斐波那契数列的想法更加简洁。
比如：一次能上1，2和3个台阶，问登上n阶台阶，有几种方法？？
代码如下：#include <cstdio>
int step(int n){

if(n==1) return 1;
if(n==2) return 2;
if(n==3) return 4;
return step(n-1)+step(n-2)+step(n-3);

}

int main(){

int n;
scanf("%d",&n);

printf("%d",step(n));

return 0;

}