【题解】HNOI-2013 Day2解题报告

题目链接：

鉴于估计bzoj活不久了，以后都尽量不贴bzoj的链接了

T1 数列

T2 游走

T3 切糕

代码在本文末尾

数列

主要考察：数学推导能力与转换能力

算法：数学推导

突破口：考虑每一个差分序列对答案的贡献

正确思路：发现m的限制不能用组合→考虑差分数列

发现该题如果使用组合数，则无法满足相邻两天的差不超过M这个限制，而数据范围不允许使用容斥，所以排除组合数的可能

发现题目中有一句容易被认为是鸡肋的东西并且这些参数满足M(K−1)<NM(K−1)<N，本着出题人不会没事干去保证数据满足什么无用性质的想法，觉得这点应该是有用的

然后发现如果要满足相邻两天的差不超过M的话，维护差分数组是很简单的，于是向下深入

设差分数组为{ai|i∈[1,k−1]}{ai|i∈[1,k−1]}

发现对于一个差分数组，满足差分后得到该数组的原数组有n−∑k−1i=1a[i]n−∑i=1k−1a[i]个，所以总答案为∑所有不一样的差分数组a[](n−∑i=1k−1a[i])∑所有不一样的差分数组a[](n−∑i=1k−1a[i])

由于M(K−1)<NM(K−1)<N，所以总共有mk−1mk−1种不同的差分数组

提出nn后，得到项n∗mk−1n∗mk−1

再考虑右边的项，总共mk−1mk−1个数组，每个里有k−1k−1个元素，每个数字平均分布，每个出现mk−1(k−1)m=mk−2(k−1)mk−1(k−1)m=mk−2(k−1)次，使用求和公式求和即可

所以总答案为n∗mk−1−mk−2∗(k−1)∗n(n+1)2n∗mk−1−mk−2∗(k−1)∗n(n+1)2

游走

主要考察：转换能力

算法：贪心+期望+高斯消元

突破口：贪心，每条边分别考虑，且由点转移

正确思路：每条边分别考虑→贪心→由点推边→高斯消元

这题先看数据范围n≤500n≤500，肯定不是什么高端的诡异算法，目测时间复杂度在O(n2logn)O(n2log⁡n)到O(n3)O(n3)左右

个人一看觉得像高斯消元，但发现有两种未知数（每个点的期望和每条边的权值）于是转换：不直接求点的期望答案，而是求边的期望，按照期望大小次序给定边权，再给边权赋值

但是求边的期望又可以由边两边的点的期望得到，只是这回求点的期望是求访问的期望，不是权值的期望，所以不用考虑边的权值，高斯消元即可

所以总流程为：

高斯消元求出每个点被访问到的期望

↓

根据点的期望反推每条边被访问到的期望

↓

按照每条边的期望大小排序贪心给定权值

↓

统计每条边的权值乘期望的和

Tips:这题转化了两次，而且是点→边→点的思维，思维难度比较大，需要耐心思考

切糕

主要考察：建图能力

算法：网络流

突破口：考虑网络流

正确思路：转化网络流→加边以满足相邻两点的距离差条件

发现这题每一列仅取一点，显然最小割模型

然后思考如何满足相邻两点的距离不超过D的限制

在草稿纸上画两笔就知道对于每个点(x,y,z)(x,y,z)往四个方向上高度为z±Dz±D的点连一条INFINF的边即可

代码部分

数列

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;

ll n,m,k,p;

ll qpow(ll A,ll B){
A%=p;
ll ans=1;
while(B){
if(B&1)ans=ans*A%p;
A=A*A%p;
B>>=1;
}
return ans;
}

int main(){
cin>>n>>k>>m>>p;n%=p;
if(k==1){printf("%llu\n",n);return 0;}
ll ans=((n*qpow(m,k-1))%p-qpow(m,k-2)*(k-1)%p*((m*(m+1)>>1)%p)%p+p)%p;
printf("%llu\n",ans);
return 0;
}

游走

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define rg register
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define abs(x) ((x)>0?(x):(-(x)))
#define eps (1e-10)

template <typename _Tp> inline _Tp read(_Tp&x){
rg char c11=getchar(),ob=0;x=0;
while(c11^'-'&&!isdigit(c11))c11=getchar();if(c11=='-')c11=getchar(),ob=1;
while(isdigit(c11))x=x*10+c11-'0',c11=getchar();if(ob)x=-x;return x;
}

const int N=505,M=505005;
struct Edge{int v,nxt;}e[M<<1];
double tot
,a

,f[M];
int head
,l[M],r[M],_=0,n,m;

inline char cmp(const double aa,const double bb){return aa-bb>eps;}

inline void add(int u,int v){
++tot[u],++tot[v];
e[++_].v=v,e[_].nxt=head[u],head[u]=_;
e[++_].v=u,e[_].nxt=head[v],head[v]=_;
}

int main(){
read(n),read(m);
for(rg int i=0;i<m;++i)
add(read(l[i]),read(r[i]));
a[1]
=-1.0;
for(rg int i=1;i<n;++i){
a[i][i]=-1.0;
for(rg int j=head[i];j;j=e[j].nxt)
if(e[j].v!=n)
a[i][e[j].v]=1.0/tot[e[j].v];
}

for(rg int i=1;i<n;++i){
int ex=i;double ma=-1.0;
for(rg int j=i;j<n;++j)
if(fabs(a[j][i])-ma>eps)
ma=fabs(a[ex=j][i]);
if(ex!=i)for(rg int j=1;j<=n;++j)swap(a[i][j],a[ex][j]);
double t=a[i][i];
for(rg int j=1;j<=n;++j)a[i][j]/=t;
for(rg int j=1;j<n;++j)
if(j!=i){
t=a[j][i];
for(rg int k=1;k<=n;++k)
a[j][k]-=t*a[i][k];
}
}

for(rg int i=0;i<m;++i)f[i]=a[l[i]]
/tot[l[i]]+a[r[i]]
/tot[r[i]];
sort(f,f+m,cmp);
double ans=0;
for(rg int i=0;i<m;++i)ans+=f[i]*(i+1);
printf("%.3lf\n",ans);
return 0;
}

切糕

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define qi(x,y) ((x&1)^(y&1))
#define get(x,y) ((x-1)*n+y)
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define cl1(x) memset(x,-1,sizeof(x))
#define clm(x) memset(x,0x3f3f3f3f,sizeof(x))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define rg register
#define inf 0x3f3f3f3f

template <typename _Tp> inline void read(_Tp&x){char c11=getchar();x=0;bool booo=0;
while(c11!='-'&&!isdigit(c11))c11=getchar();if(c11=='-'){booo=1;c11=getchar();}
while(isdigit(c11)){x=x*10+c11-'0';c11=getchar();}if(booo)x=-x;
}

const int MD=800050,ME=800050;
struct node{ll v,w,nxt;}a[ME];
ll head[MD],cur[MD],p=0;
const int mx[]={0,0,1,-1},my[]={1,-1,0,0};
int id[42][42][42];
ll n,m,s,t,d,h;
ll dis[MD];
ll sum=0,ans=0;

inline void add(ll,ll,ll);

inline void ADD(ll,ll,ll);

void init();

bool bfs(){
queue <int> q;
q.push(s);
cl1(dis);
dis[s]=0;
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
for(rg int i=head[x];~i;i=a[i].nxt)
if(dis[a[i].v]==-1&&a[i].w>0)
{dis[a[i].v]=dis[x]+1;q.push(a[i].v);if(a[i].v==t)break;}
}
return dis[t]!=-1;
}

ll dfs(ll x,ll low){
if(x==t||low==0)return low;
ll res=0,temp;
for(rg int i=cur[x];~i;i=a[i].nxt){
cur[x]=i;
if(dis[a[i].v]==dis[x]+1)
if((temp=dfs(a[i].v,min(low-res,a[i].w)))>0){
a[i].w-=temp;
a[i^1].w+=temp;
res+=temp;
if(res==low)return low;
}
}
if(!res)dis[x]=-1;
return res;
}

void work(){
while(bfs()){
for(rg int i=1;i<=t;++i)cur[i]=head[i];
ans+=dfs(s,inf);
}
printf("%lld\n",ans);
return ;
}

int main(){
init();
work();
return 0;
}

void init(){
read(n);read(m);read(h);read(d);
cl1(head);
int cnt=0,A;
for(rg int i=1;i<=n;++i)
for(rg int j=1;j<=m;++j)
for(rg int k=1;k<=h+1;++k)
id[i][j][k]=++cnt;
s=++cnt;t=++cnt;
for(rg int i=1;i<=n;++i)
for(rg int j=1;j<=m;++j){
ADD(s,id[i][j][1],inf);
ADD(id[i][j][h+1],t,inf);
}
for(rg int k=1;k<=h;++k)
for(rg int i=1;i<=n;++i)
for(rg int j=1;j<=m;++j){
read(A);
ADD(id[i][j][k],id[i][j][k+1],A);
}
for(rg int k=d+1;k<=h+1;++k)
for(rg int i=1;i<=n;++i)
for(rg int j=1;j<=m;++j)
for(rg int o=0;o<4;++o)
if(i+mx[o]>0&&i+mx[o]<=n&&j+my[o]>0&&j+my[o]<=m)
ADD(id[i][j][k],id[i+mx[o]][j+my[o]][k-d],inf);
return ;
}

inline void add(ll u,ll v,ll w){
a[p].v=v;
a[p].w=w;
a[p].nxt=head[u];
head[u]=p++;
}

inline void ADD(ll x,ll y,ll z){add(x,y,z);add(y,x,0);return ;}