内部排序之堆排序

在学习堆排序之前，我们先来了解一下堆。本篇用到的堆为二叉堆，是一种特殊完全二叉树。堆的定义如下：一个含有n条记录的序列，当且仅当满足以下关系时，称为堆。

1）堆的每一个父节点都大于（或小于）其子节点；

2）堆的每个左子树和右子树也是一个堆。

堆的分类：

1）最大堆（大顶堆）：堆的每个父节点都大于其孩子节点；

2）最小堆（小顶堆）：堆的每个父节点都小于其孩子节点；

根据堆的定义可知，二叉堆中所有非终结点的值均不小于或者不大于其左右孩子的值。若根结点关键字是堆中所有结点关键字结点的最大者，称为大顶堆，或者称为最大堆。小顶堆的定义与其类似。

下面给出堆排序的代码实现：

void HeapAdjust(int* arr,int n)
{
int nChild;
int tmp;
for(;2*i+1<n;i=nChild)
{
nChild=2*i+1;
if(nChild<n-1&&arr[nChile+1]>arr[nChild])
++nChild;
if(arr[i]<arr[nChild])
{
tmp=arr[i];
arr[i]=arr[nChild];
arr[nChild]=tmp;
}
else
break;
}
}

void HeapSort(int* arr,int n)
{
int i=0;
for(i=(n-1)/2;i>=0;i--)
{
HeapAdjust(arr,i,n);
for(i=n-1;i>0;i--)
{
arr[i]=arr[0]^arr[i];
arr[0]=arr[0]^arr[i];
arr[i]=arr[0]^arr[i];
HeapAdjust(arr,0,i);
}
}

下面分析该算法的时间复杂度。堆排序算法包含构建堆的算法和堆排序的算法两部分，其主体为两个for循环，这两个for循环都用到了调用算法。调整算法的主体是一个for循环，调整的时间复杂度与结点的深度有关。是一个log2n的操作，时间复杂度为O(log2n)。构建堆的算法从（n-1）/2处开始，一直处理到第一个位置为止，过程中的操作时间相当于每个被操作的结点的深度之和，即O(h1)+O(h2)+…,结果为O(n)。堆排序的算法是利用前面两个步骤完成的，其中构建堆的步骤被调用了一次，调用堆的算法被调用了n-1次，所以堆排序的时间复杂度为O(nlog2n)。