红黑树-删除节点

红黑树删除步骤分为两个：delete 和 delete-fixup

假定要删除的节点的指针为 node。

移植（Transplant）

删除过程中遇到用某节点u代替某节点v的情况，则调用Transplant（u，v），用来处理好 v 与 u->p 的链接关系。

删除

过程一共有四种情况：

case 1：node只有右子节点。

case 2：node只有左子节点。

case 3：node有两个子节点，且node的后继是node的右子节点。

case 4：node有两个子节点，且node的后继是node的左子节点。

过程涉及的因素有

1. 被删除节点node. node可能是根。

2. node的后继y.

3. y的右子节点x.

4. node的颜色。

5. y的颜色。

删除过程如下，先不考虑违背了哪些性质。

预处理， 令 y = node ， 用 y-original-color 储存 y的颜色。分情况讨论：

case 1

令x指向node的右子节点，用x代替node。判断是否要fixup.

case 2

令x指向node的左子节点，用x代替node。判断是否要fixup。

case 3&4

令y指向node的后继，储存y的颜色（此时y-original-color是node的后继的颜色）。令x指向y的右子节点。判断是否要fixup。

如果y是node的右子节点。令x->p指向y。算法导论中对此有一段解释：在case 3中，假设 x = y->r = T.NIL， 那么x是个叶节点，这时候需要人工将叶节点NIL的p指针设置为y，在x 非 NIL的情况下 下，这操作不起任何作用。

如果y非node的右子节点。将y从原来的位置剥离开，x代替y的位置。

用y代替node节点，y的与node的子节点的关系完全取代node与node子节点的关系（关系调整）。并把y的颜色设置为node的颜色。

各因素的变化

case 1： y指向node，x指向node的右子节点， y-original-color是node的颜色。

case 2： y指向node，x指向node的左子节点，y-original-color是node的颜色。

case 3： y指向z的后继，x指向y的右子节点，y-original-color是node后继的颜色。

case 4： y指向z的后继，x指向y的右子节点，y-original-color是node后继的颜色。

删除后的分析

我有一个疑问：为什么case 1和2中，会被fixup的是node的子节点，而在case 3和4中，会被fixup的是node的后继的子节点？注意到算法导论中RB-delete（）的第20行，将y涂为node的颜色。原本node的颜色也会影响bh，y被剥离，所以y的颜色也会影响bh。y代替了node，将y涂为node的颜色等同于“node没被删除”，故也不用考虑node的颜色的影响。总而言之，4种情况中，都只需考虑一个节点（node的子节点或其后继的子节点）的颜色带来的影响，将这个节点命名为x，对其进行fixup操作。

fixup操作中，也用到转化策略。首先对于给点的节点x，有五种情况

（假定x是其父节点的左节点，当然还有另外的镜像情况）s是x的兄弟。

1. case 0：x是树新的根。

2. case 1：s是红色的。

3. case 2：s是黑色，s的两个子节点都是黑色的。

4. case 3：s是黑色，s的左子节点为红，右子节点为黑。

5. case 4：s是黑色，s的右子节点为红。

fixup采用讲case 1的情况转化为case 2，3 或者4的策略。

case 1 –> case 4

case 1 –> case 2 –> case 4

case 1 –> case 3 –> case 4

当y代替了node后，原本含y的简单路径的黑高减去1；因此要设法使得bh恢复。