剑指Offer-43：1~n整数中1出现的次数

题目：

输入一个整数n，求1~n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

例子：

例如输入12,1~12这些整数中包含1的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。

链接：

剑指Offer（第2版）：P221

LeetCode-233：Number of Digit One：

https://leetcode.com/problems/number-of-digit-one/description/

思路标签：

算法：寻找规律

解答：

1. 不考虑时间效率的解法（时间复杂度：O(nlogn)）

这种基本的解法就是对每一个数字进行数字的统计，时间复杂度高，难以拿到offer的解法；

数字n有logn位，所以每个数字时间复杂度为O(logn)，n个数字时间复杂度为O(nlogn)。

class Solution {
public:
int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
{
int number = 0;

for(int i=1; i<=n; ++i){
number += NumberOf1(i);
}
return number;
}

int NumberOf1(int n){
int number = 0;
while(n){
if(n%10 == 1)
number++;

n = n / 10;
}

return number;
}
};

2. 寻找规律高时间效率的解法（时间复杂度：O(logn)）

这种解法寻求数字的规律，时间复杂度低；

首先要知道以下的规律：

从 1 至 10，在它们的个位数中，任意的 X 都出现了 1 次；

从 1 至 100，在它们的十位数中，任意的 X 都出现了 10 次；

从 1 至 1000，在它们的百位数中，任意
4000
的 X 都出现了 100 次。

依此类推，从 1 至 10^(i)，在它们的左数第二位（右数第 i 位）中，任意的 X 都出现了 10^(i−1) 次。

接下来以 n=2593,X=5 为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出现在个位，260 次出现在十位，294 次出现在百位，0 次出现在千位。现在依次分析这些数据.

首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593，因为它们最大的个位数字 3 < X，因此不会包含任何 5。

然后是十位。从 1 至 2500 中，包含了 25 个 100，因此任意的 X 都出现了 25×10=250 次。剩下的数字是从 2501 至 2593，它们最大的十位数字 9 > X，因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。

接下来是百位。从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000，因此任意的 X 都出现了 2×100=200 次。剩下的数字是从 2001 至 2593，它们最大的百位数字 5 == X，这时情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含 5 的，但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。

最后是千位。现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < X，所以不会包含任何 5。到此为止，已经计算出全部数字 5 的出现次数。

总结一下以上的算法，可以看到，当计算右数第 i 位包含的 X 的个数时:

取第 i 位左边（高位）的数字，乘以 10i−1，得到基础值 a。

取第 i 位数字，计算修正值：

如果大于 X，则结果为 a+10i−1。

如果小于 X，则结果为 a。

如果等 X，则取第 i 位右边（低位）数字，设为 b，最后结果为 a+b+1。

相应的代码非常简单，效率也非常高，时间复杂度只有 O(log10n)。

下面的代码可以计算1-n中包含任意一个x（1~9）的次数。

class Solution {
public:
// 计算数字 X 在 1-n 中出现的次数。
int count(int n, int x) {
int cnt = 0, k;
for (int i = 1;k = n / i;i *= 10) {
// k / 10 为高位的数字。
cnt += (k / 10) * i;
// 当前位的数字。
int cur = k % 10;
if (cur > x) {
cnt += i;
} else if (cur == x) {
// n - k * i 为低位的数字。
cnt += n - k * i + 1;
}
}
return cnt;
}
};

3. 寻找1-n中包含数字0的个数及0~9的个数的程序：

当 X = 0 时，规律与上面给出的规律不同，需要另行考虑。

最主要的区别是，最高位中永远是不会包含 0 的，因此，从个位累加到左起第二位就要结束，需要将上面代码中 for 循环的判断条件改为 k / 10 != 0。

其次是，第 i 位的基础值不是高位数字乘以 10^(i−1)，而是乘以 10^(i−1)−1。解决办法就是将上面代码改为 cnt += (k / 10 - 1) * i。

// 计算数字 0 在 1-n 中出现的次数。
int countZero(int n) {
int cnt = 0, k;
// k / 10 为高位的数字。
for (int i = 1;(k = n / i) / 10;i *= 10) {
cnt += (k / 10) * i;
// k % 10 为当前位的数字。
if (k % 10 == 0) {
// n - k * i 为低位的数字。
cnt += n - k * i + 1 - i;
}
}
return cnt;
}

将上面两段代码进行合并，可以得到以下代码，对 X 从 0 到 9 都有效：

// 计算数字 X 在 1-n 中出现的次数。
int count(int n, int x) {
int cnt = 0, k;
for (int i = 1;k = n / i;i *= 10) {
// 高位的数字。
int high = k / 10;
if (x == 0) {
if (high) {
high--;
} else {
break;
}
}
cnt += high * i;
// 当前位的数字。
int cur = k % 10;
if (cur > x) {
cnt += i;
} else if (cur == x) {
// n - k * i 为低位的数字。
cnt += n - k * i + 1;
}
}
return cnt;
}

引自博客：http://www.cnblogs.com/cyjb/p/digitOccurrenceInRegion.html