感知机（perceptron）学习——学习笔记

一、感知机

感知机是二分类线性分类模型，输入为实例的特征向量，输出为+1，或者-1.由输入到输出函数为f(x) = sign(w*x+b),w为权值（weight），b叫做偏置（bias）。sign为符号函数。（w是超平面的法向量，b是超平面的截距）。

感知机是通过确定一个超平面来将样本分成两类，也就是说我们通过不断调整w和b来确定这个超平面，直到找到这个超平面为止。简单来说，把他想成二维空间，就是平面上有一些点，这些点一类是+1，一类是-1，我们的目的就是找到一条直线可以将这二类点分开，这条直线的函数解析式w*x+b。我们通过调整斜率w和截距b来调整直线，直到其可以分成二类的点。

我们这里定义一个损失函数，就是衡量分类错误的多少的一个函数（我自己理解的）。那我们就是要使这个损失函数尽量小。

损失函数的自然选择是误分类点的总数，但是这样的损失函数不是参数w，b的可导函数，不容易优化。

（x0x0,y0y0）到直线Ax+By+C = 0的距离为：

d=|Ax+By+C|A2+B2−−−−−−−√d=|Ax+By+C|A2+B2

所以我们来计算x0x0到平面S的距离:

1||w|||w∗x0+b|1||w|||w∗x0+b|

||w||是w的L2范数，||w||=w2−−√||w||=w2

而对于误分类的数据（xi,yixi,yi）来说，yi∗(w∗xi+b)>0yi∗(w∗xi+b)>0，所以误分类点xixi到S的距离为：

−1||w||∗yi|w∗xi+b|−1||w||∗yi|w∗xi+b|

所以误分类点到S的总距离为（误分类的距离为M）：

−1||w||∑xi∈Myi|w∗xi+b|−1||w||∑xi∈Myi|w∗xi+b|

不考虑1||w||1||w||，就是感知机学习的损失函数。

所以感知机sign（w*x+b）学习的损失函数为：

L(w,b)=−1||w||∑xi∈Myi|w∗xi+b|L(w,b)=−1||w||∑xi∈Myi|w∗xi+b|

我们通过对这个损失函数进行梯度下降算法，即:

minw,bL(w,b)=−1||w||∑xi∈Myi|w∗xi+b|minw,bL(w,b)=−1||w||∑xi∈Myi|w∗xi+b|

对这个损失函数分别对w和b求导，得到梯度，w的梯度为-yixiyixi,b的梯度−yi−yi，所以更新公式为：

w←w+ηyixiw←w+ηyixi b←b+ηyib←b+ηyi

ηη是步长，也称为学习率。然后不断更新直到符合某个停止条件，得到这个感知机模型。