[数据结构]前缀、中缀、后缀表达式求值以及相互转换

前缀、中缀、后缀表达式求值以及相互转换

一、 表达式求值问题

1. 前缀表达式求值问题

从右向左扫描，遇到数字时，将数字压入栈，遇到运算符时候，把栈内前两个数字弹出，先弹出的数字放在运算符前面，然后进行相应运算，并将计算结果入栈。重复直到表达式最右端。

例：前缀表达式是：- 1 + 2 3（从右向左扫描）

a) 将数字3,2依次入栈；

b) 遇见运算符+，依次弹出2，3，计算2+3=5，将5入栈继续扫描；

c) 将1入栈；

d) 遇见运算符-，依次弹出1，5，计算1-5=-4，将-4入栈继续扫描；

e) 此时入栈到最左端，停止，所得结果-4

2. 中缀表达式求值问题

正常求值

3. 后缀表达式求值问题

从左向右扫描，遇到数字时，将数字压入栈，遇到运算符时候，把栈内前两个数字弹出，先弹出的数字放在运算符后面，然后进行相应运算，并将计算结果入栈。重复直到表达式最右端。

例：后缀表达式是34+5*6- （从左向右扫描）

a) 将数字3,4依次入栈；

b) 遇见运算符+，依次弹出4，3，计算3+4=7，将7入栈继续扫描；

c) 将5入栈；

d) 遇见运算符*，依次弹出5，7，计算7*5=35，将35入栈继续扫描；

e) 将6入栈；

f) 遇见运算符-，依次弹出两个6，35，计算35-6=29，将29入栈继续扫描；

g) 此时入栈到最右端，停止，所得结果29

二、 表达式相互转换问题

1. 前缀转化为其他类型表达式（构造树）

示例：* + 4 2 + 3 6

构造树： 1. 从左往右扫描字符串

2. 遇到操作符则递归构造树节点，当前操作符是根节点，并递归构造左右子节点

1) 前缀转化为中缀

中序遍历当前结果，中缀表达式为：（4+2）*（3+6）

2) 前缀转化为后缀

后序遍历当前结果，后续表达式为：4 2 + 3 6 + *

2. 中缀转化为其他类型表达式（栈或构造树）

方法一：栈

1)中缀转化为前缀

a) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；

b) 从右至左扫描中缀表达式；

c) 遇到操作数时，将其压入S2；

d) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：

i. 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；

ii. 如果S1栈非空且当前运算符优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；

iii. 如果S1栈非空但且当前运算符优先级比栈顶运算符的较低，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中（当前运算符不放入S2栈），再次与S1中新的栈顶运算符相比较；

e) 遇到括号时：

i. 如果是右括号“)”，则直接压入S1；

ii. 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到一次右括号为止，此时
4000
将这一对括号丢弃；

f) 重复步骤(b)至(e)，直到表达式的最左边；

g) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；

h) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。

2)中缀转化为后缀

1、初始化两个栈，运算符栈S1和数据栈S2

2、从左向右扫描中缀表达式，遇见数字直接入栈S2

3、遇见运算符，将比较运算符与S1栈顶运算符优先级

a) 如果S1栈顶是NULL或者是“（”则直接将遇见的运算符入栈S1

b) 如果S1栈顶非空也不是“（”，且遇见的运算符比S1内优先级要高，那么将遇见的运算符直接入栈S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）

c) 如果S1栈顶是“）”或者遇到的运算符优先级更小。则将S1内运算符出栈到S2里，再转回a)

4、遇见括号

a) 如果是左括号“(”，则直接压入S1；

b) 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；

5、重复2-4，直至到表达式最右边

6、将S1中剩余运算符弹出到S2

7、依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为所求后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。

将中缀表达式exp转换为后缀表达式，采用了一个op运算符栈，其他的用数组存储。

方法二：构造树

首先将中缀表达式转换为表达式树，然后后序遍历表达式树，所得结果就是后缀表达式。

将中缀表达式转化为表达式树方法：表达式树的树叶是操作数，而其他的节点为操作符，根节点为优先级最低且靠右的操作符（如上述表达式优先级最低的是- 和+，但 + 更靠右，所以根为+），圆括号不包括。如上述中缀表达式转换后的表达式树如下：

经过前序遍历表达式树后得到的前缀表达式为：-+1*+2345

经过后序遍历表达式树后得到的后缀表达式为：123+4*+5–

后缀转化为其他类型表达式（构造树）

从左到右扫描后缀表达式，一次一个符号读入表达式。如果符号是操作数，那么就建立一个单节点树并将它推入栈中。如果符号是操作符，那么就从栈中弹出两个树T1和T2（T1先弹出）并形成一颗新的树，该树的根就是操作符，它的左、右儿子分别是T2和T1。然后将指向这棵新树的指针压入栈中。

前三个符号是操作数，因此创建三颗单节点树并将指向它们的指针压入栈中。

“+”被读入，因此指向最后两颗树的指针被弹出，形成一颗新树，并将指向新树的指针压入栈中。以下的流程图以相同原理执行。

1) 后缀转化为前缀

先序遍历所得的表达式树即得到我们所需的前缀表达式：-+1*+2345

2) 后缀转化为中缀

中序遍历所得的表达式树即得到我们所需的中缀表达式：1+（（2+3）*4）-5