欧几里得算法（辗转求余法）的C++实现及简单原理

1.欧几里德算法的思想：欧几里德算法的思想基于辗转相除法的原理，辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，欧几里德算法说白了其实就是辗转相除法的计算机算法的实现而已。下面我们先说说辗转相除法，辗转相除法的内容：如果用gcd(a,b)来表示a和b的最大公约数，那么根据辗转相除法的原理，有gcd(a,b)=gcd(b,a mod (b))，其中mod()表示模运算，并且不妨让a>b,这样方便于模运算。
2.辗转相除法的正确性gcd(a,b)=gcd(b,a mod (b))的证明：第一步：令c为a和b的最大公约数，数学符号表示为c=gcd(a,b).因为任何两个实数的最大公约数c一定是存在的，也就是说必然存在两个数k1,k2使得a=k1.c, b=k2.c第二步：a mod (b)等价于存在整数r,k3使得余数r=a – k3.b.             即r = a – k3.b            = k1.c – k3.k2.c            = (k1 – k3.k2).c        显然，a和b的余数r是最大公因数c的倍数。 
3.欧几里德算法的优点：通过模运算的余数是最大公约数之间存在的整数倍的关系，来给比较大的数字进行降维，方便手算；同时，也避免了在可行区间内进行全局的最大公约数的判断测试，只需要选取其余数进行相应的计算就可以直接得到最大公约数，大大提高了运算效率。  4.欧几里德算法流程图：


5.欧几里德算法的C语言实现：//功能：利用欧几里德算法，求整数a，b的最大公约数
//参数：整数a，b
//返回：a,b的最大公约数
int gcd(int a, int b){
if(a < b){ //保证a大于等于b，便于a%b的运算
int temp;
temp = a;
a = b;
b = temp;
}
while(a % b){ //如果余数不为0，就一直进行辗转相除
int r = a % b; //r为a和b的余数，即r = a mod(b);
a = b;
b = r;
r = a % b;
}
return b;
}

//测试函数
#include
int main(){
printf << gcd(4,12) << endl;
}

//最简化分数
int a = abs(numerator);
int b = abs(denmoinator);
//求出最大公约数
while（ b > 0）
{
int t = a % b;
a=b;
b=t;

}
//分子分母分别除以最大公约数得到最简化分数
numerator /=a;
denominator /=b;