线性代数学习-02-01.线性方程的解

向量和线性方程

假设有线性方程组（方程中的未知数前都是乘以的数字，称为线性方程）:

x−2y=1x−2y=1

3x+2y=113x+2y=11

row picture

线的交点即为方程组的解

column picture

将线性方程组转化为向量方程(vector equation):

x[13]+y[−22]=[111]=bx[13]+y[−22]=[111]=b

问题就转化为了找到左侧两个向量(coloumn vector)的组合(linear combination)，来得到右侧向量

scalar multiplication

纯量乘法指的是标量乘以向量

3[13]=[39]3[13]=[39]

vector addition

[39]+[−22]=[111][39]+[−22]=[111]

linear combination

向量方程的左侧称为linear combination

3[13]+[−22]=[111]3[13]+[−22]=[111]

coefficient matrix

系数矩阵

A=[13−22]A=[1−232]

maxtrix equation

矩阵方程Ax=bAx=b

[13−22][xy]=[111][1−232][xy]=[111]

maxtrix-vector multiplication:

[13−22][31]=[111][1−232][31]=[111]

矩阵方程形式

row picture

假设有如下三元方程组:

x+2y+3z=6x+2y+3z=6

2x+5y+2z=42x+5y+2z=4

6x−3y+z=26x−3y+z=2

row picture表示三个面交于一点

column picture

表示表示组合三个列向量得到向量(6,4,2)

x⎡⎣⎢⎢126⎤⎦⎥⎥+y⎡⎣⎢⎢25−3⎤⎦⎥⎥+z⎡⎣⎢⎢321⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢642⎤⎦⎥⎥x[126]+y[25−3]+z[321]=[642]

矩阵方程形式Ax=bAx=b

⎡⎣⎢⎢12625−3321⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢xyz⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢642⎤⎦⎥⎥[1232526−31][xyz]=[642]

A:系数矩阵

b:列向量,分量为1,11

x:列向量,分量为x,y

AxAx的计算两种方式:

1.行乘法:Ax=⎡⎣⎢⎢(row1)(row2)(row3)...xxx⎤⎦⎥⎥Ax=[(row1).x(row2).x(row3).x]

比如第一行的dot products结果:(1,2,3).(0,0,2)=6(1,2,3).(0,0,2)=6

如果有:

Ax=⎡⎣⎢⎢a11a21a31a12a22a32⋯⋯⋯a1na2na3n⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢x1x2xn⎤⎦⎥⎥Ax=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2na31a32⋯a3n][x1x2xn]

aijaij表示矩阵第i行第j列的”component”,也记做A(i,j)A(i,j)

则第i行的dot products结果:ai1x1+ai2x2+...+ainxnai1x1+ai2x2+...+ainxn

也就是:∑nj=1aijxj∑j=1naijxj

2.列乘法:Ax=x(column1)+y(column2)+z(column3)Ax=x(column1)+y(column2)+z(column3)

x⎡⎣⎢⎢126⎤⎦⎥⎥+y⎡⎣⎢⎢25−3⎤⎦⎥⎥+z⎡⎣⎢⎢321⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢642⎤⎦⎥⎥x[126]+y[25−3]+z[321]=[642]

单位矩阵(identity matrix)

I⎡⎣⎢⎢100010001⎤⎦⎥⎥I[100010001]

Ix=xIx=x