矩阵变换：沿任意轴旋转及其推导

来源：http://blog.csdn.net/zsq306650083/article/details/8773996

1. 2D中绕原点旋转
设基向量p,q和r分别是朝向+x,+y和+z方向的单位向量。

旋转角度为θ，基向量p,q绕原点旋转，得到新的基向量p`和q`



即旋转矩阵R(θ)为



2. 3d中绕坐标轴旋转
01. 绕x轴旋转，基向量q和r旋转θ，得到新的基向量q`和r`



即旋转矩阵Rx(θ)为：



02. 绕y轴旋转，基向量p和r旋转θ，得到新的基向量p`和r`



即旋转矩阵Ry(θ)为：



03. 绕z轴旋转，基向量p和q旋转θ，得到新的基向量p`和q`



即旋转矩阵Rz(θ)为：



3. 绕任意轴旋转
这里不考虑平移，所以是过原点的任意轴。
任意轴用单位向量n表示，绕n旋转θ角度的矩阵表示为R(n,θ)，v`是向量v绕轴n旋转后的向量
v` = vR(n,θ)
我们的目标是用v,n和θ来表示v`，具体步骤如下：
将v分解为平行于n的分向量v||和垂直于n的分向量v⊥。v`⊥是v`垂直于n的分向量。



01.根据向量投影公式有



02.根据v||算出v⊥,w是v⊥与n叉剩的结果



03.根据w算出v`⊥



04.最后算出v`



05.现在已经得到了v`与v,n和θ的关系公式，用它来计算变换后的基向量并构造矩阵，基向量p`为



06.其余基向量类推，这里纠正上式中列向量的写法



07.合并为矩阵后：



更多内容参见：3d数学基础



 

bgram

2017-07-10 08:585楼回复
在“02.根据v||算出v⊥,w是v⊥与n叉剩的结果“中，我认为w写反了。
根据叉乘的定义，应该是w=v⊥×n。楼主觉得对不对？

bgram

2017-07-10 08:564楼回复
在 “02.根据v||算出v⊥,w是v⊥与n叉剩的结果“中
我认为w写反了。
根据叉乘的定义，应该是w=v⊥×n。楼主觉得对不对？

qq_26988595

2015-11-17 09:223楼回复
请问这一步根据03.根据w算出v`⊥
是如何得出的？我看原书也没看懂。请教一下

zsq306650083

2015-11-05 18:232楼回复
中文名叫《3d数学基础：图形与游戏开发》，英文版名字叫<3D Math Primer for Graphics and Game>,原版已经出到第三版了，中文的貌似只翻译到了第一版。

louisejackie

2014-08-01 19:401楼1条回复 回复
楼主您好！仔细研读了您的矩阵变换系列博文，非常受用。想问下您用的是哪本书呢？我下载了你文中链接的“3D数学基础”，没找到相关的讲解啊，求指导，多谢了！