bzoj 3206: [Apio2013]道路费用

题意：

有一个n个点m条边的无向图，边都有权值，每个点上有p[i]个人。现在又要新加入k条边，要求给这k条边赋上一个权值，然后在原图中选择任意一个最小生成树，求当所有人都要走到节点1时，k条边中每条边
4000
的权值乘上经过该边的人数的最大值。

n<=100000,m<=300000,k<=20

题解：

k较小，显然可以暴力枚举每条边强制加入MST，边权为原图上的MST两点间的最大值，然后做一次树形dp，这样就是O(2knk)O(2knk)。

考虑优化，先强制选择所有操作边，做MST，显然这时候所选的原图中的边是必选的，所以可以对这些边缩点，这样就有不超过k+1k+1个点。删掉操作边，再做MST，此时MST上的边就是有可能出现在最总方案上的边。

那么这时候原图就成了一个不超过k+1个点，k条边的树，再进行上面的爆搜就可以过了。

code：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
struct node{
int x,y,c,op,next;
}e[300010],ek[300010],a[50];
int len,last[30];
int n,m,k,fa[100010],rt;
int id[100010],tot=0;
LL val[100010],p[100010];
int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int findfa(int x) {return fa[x]==x?x:fa[x]=findfa(fa[x]);}
bool cmp(node a,node b) {return a.c<b.c;}
bool cmp2(node a,node b) {return a.op>b.op||a.op==b.op&&a.c<b.c;}
void kruskal()
{
sort(e+1,e+m+1,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
for(int i=1;i<=k;i++) if(findfa(ek[i].x)!=findfa(ek[i].y)) fa[findfa(ek[i].x)]=findfa(ek[i].y);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x=findfa(e[i].x),y=findfa(e[i].y);
if(x!=y) fa[x]=y,e[i].op=1;
}
}
void build()
{
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++) if(e[i].op==1) p[findfa(e[i].y)]+=p[findfa(e[i].x)],fa[findfa(e[i].x)]=findfa(e[i].y);
for(int i=1;i<=n;i++) if(fa[i]==i) id[i]=++tot,val[tot]=p[i];
for(int i=1;i<=m;i++) e[i].x=id[findfa(e[i].x)],e[i].y=id[findfa(e[i].y)];
for(int i=1;i<=m;i++) ek[i].x=id[findfa(ek[i].x)],ek[i].y=id[findfa(ek[i].y)];
rt=id[findfa(1)];
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x=findfa(e[i].x),y=findfa(e[i].y);
if(x!=y) fa[x]=y,e[i].op=2;
}
sort(e+1,e+m+1,cmp2);
}
int vis[30];
void ins(int x,int y,int op)
{
a[++len].y=y;a[len].op=op;a[len].c=0;a[len].next=last[x];last[x]=len;
a[++len].y=x;a[len].op=op;a[len].c=0;a[len].next=last[y];last[y]=len;
}
LL sum,ans=0;
bool dfs(int x,int fa,int y,int c)
{
if(x==y) return true;
for(int i=last[x];i;i=a[i].next)
{
if(a[i].y==fa) continue;
if(dfs(a[i].y,x,y,c))
{
if(!a[i].op&&!a[i].c) a[i].c=a[i^1].c=c;
return true;
}
}
return false;
}
LL size[30];
void dp(int x,int fa)
{
size[x]=val[x];
for (int i=last[x];i;i=a[i].next)
{
if (a[i].y==fa) continue;
dp(a[i].y,x);
size[x]+=size[a[i].y];
if (!a[i].op) sum+=(LL)size[a[i].y]*a[i].c;
}
}
void check()
{
for(int i=1;i<=tot;i++) last[i]=0,fa[i]=i;len=1;
for(int i=1;i<=k;i++)
if(vis[i])
{
int x=findfa(ek[i].x),y=findfa(ek[i].y);
if(x==y) return;
ins(ek[i].x,ek[i].y,0);fa[x]=y;
}
for(int i=1;i<=tot-1;i++)
{
int x=findfa(e[i].x),y=findfa(e[i].y);
if(x!=y) ins(e[i].x,e[i].y,1),fa[y]=x;
else dfs(e[i].x,0,e[i].y,e[i].c);
}
sum=0;dp(rt,0);ans=max(ans,sum);
}
void solve(int
11620
x)
{
if(x>k) {check();return;}
solve(x+1);
vis[x]=1;solve(x+1);vis[x]=0;
}
int main()
{
n=read();m=read();k=read();
for(int i=1;i<=m;i++) e[i].x=read(),e[i].y=read(),e[i].c=read();
for(int i=1;i<=k;i++) ek[i].x=read(),ek[i].y=read();
for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=read();
kruskal();build();
solve(1);printf("%lld",ans);
}