BZOJ4475 [Jsoi2015]子集选取

Description

Solution

对于\(n=1\)求出方案数，之后将这个方案数取\(n\)次幂即可。因为不同的元素之间是互不影响的。

\(n=1\)时，我实际上要从
\[ \begin{matrix} A_{1,1}\\ A_{2,1}&A_{2,2}\\ A_{3,1}&A_{3,2}&A_{3,3}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\ A_{k,1}&A_{k,2}&A_{k,3}&\cdots&A_{k,k} \end{matrix} \]
这个三角中选出一些来包含\(1\)。

那么，我从这个矩阵左下角即\(A_{k,1}\)的左下方开始，每次向右或上走一步，直到某个\(A_{i,i}\)的左上角（或者\(A_{k,k}\)的右下角）；走出这个折线的右下的集合包含\(1\)，其它不包含\(1\)。那么我一共会走\((k-i+1)+(i-1)=k\)步，每步可以向右/下走，所以共有\(2^k\)种方案。

综上，答案即为\(2^{nk}\)。

Code

#include <cstdio>
typedef long long LL;
const int mod = 1000000007;
int main() {
int n, k;
scanf("%d%d", &n, &k);
int ans = 1, x = 2;
for (n = (LL)n * k % (mod - 1); n; n >>= 1, x = (LL)x * x % mod)
if (n & 1) ans = (LL)ans * x % mod;
return printf("%d\n", ans) & 0;
}