bzoj3545&&3551: [ONTAK2010]Peaks离线&&在线【线段树合并&&kruskal重构树&&主席树】
2018-03-04 12:06
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Description
在Bytemountains有N座山峰,每座山峰有他的高度h_i。有些山峰之间有双向道路相连,共M条路径,每条路径有一个困难值,这个值越大表示越难走,现在有Q组询问,每组询问询问从点v开始只经过困难值小于等于x的路径所能到达的山峰中第k高的山峰,如果无解输出-1。Input
第一行三个数N,M,Q。第二行N个数,第i个数为h_i
接下来M行,每行3个数a b c,表示从a到b有一条困难值为c的双向路径。
接下来Q行,每行三个数v x k,表示一组询问。
Output
对于每组询问,输出一个整数表示答案。Sample Input
10 11 41 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4 4
2 5 3
9 8 2
7 8 10
7 1 4
6 7 1
6 4 8
2 1 5
10 8 10
3 4 7
3 4 6
1 5 2
1 5 6
1 5 8
8 9 2
Sample Output
61
-1
8
【注】:bzoj3551是该题的强制在线版本。
解题思路:
离线版本比较简单,把边和询问按权值排序,从小到大处理,用并查集维护连通性,同时用线段树维护连通块内点权,合并并查集时线段树合并即可。主要讲讲在线版本的做法。
解题关键是维护每个边权限制时的连通状态,同时还要在可行的复杂度内维护连通块内的点权。这里用到了一个比较奇妙的思路:kruskal重构树。
跟建kruskal最小生成树类似,不过做了变形
比如每次连边有 x=find(e[i].x), y=find(e[i].y);
这时候新建一个节点z,点权是e[i].val
然后fa[x]=fa[y]=z,即新建的节点是此连通块的根
这样做有什么用呢。。好处就是建完树后,所有的MST的节点都在叶子节点,上边的全是由边转化的点。而且由kruskal的过程可知,越晚加入的边,边权越大,因此在新树中,除了叶子节点,越往上点的权值越大(很好的性质)
这一点就可以被每次询问的边权不超过w所用,此时w只要从询问的v开始,倍增往上找到第一个边权小于等于w的点x,x的子树内的叶子结点就是当前状态下v所在的连通块。
剩下的问题就是求这棵树子树内第k大叶子了,主席树套路题。
求出kruskal树的dfs序,然后按dfs序建主席树,注意仅叶子节点要修改权值线段树,否则不进行修改,将上棵树的根复制过来。
然后按区间第k大找就是了。
AC代码
离线版:#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; int getint() { int i=0,f=1;char c; for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar()); if(c=='-')f=-1,c=getchar(); for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0'; return i*f; } const int N=100005,M=500005; int n,m,Q,tot,mx,fa ,h ,rt ,ans[M]; struct edge { int x,y,val,id; inline friend bool operator < (const edge &a,const edge &b) {return a.val<b.val;} }bian[M],q[M]; struct node{int lc,rc,size;}tr[5000005]; int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);} void Insert(int &x,int l,int r,int v) { if(!x)x=++tot;++tr[x].size; if(l==r)return; int mid=l+r>>1; if(v<=mid)Insert(tr[x].lc,l,mid,v); else Insert(tr[x].rc,mid+1,r,v); } int merge(int x,int y,int l,int r) { if(!x||!y)return x+y; if(l==r){tr[x].size+=tr[y].size;return x;} int mid=l+r>>1; tr[x].lc=merge(tr[x].lc,tr[y].lc,l,mid); tr[x].rc=merge(tr[x].rc,tr[y].rc,mid+1,r); tr[x].size=tr[tr[x].lc].size+tr[tr[x].rc].size; return x; } int query(int x,int l,int r,int k) { if(l==r)return l; int mid=l+r>>1,lsize=tr[tr[x].lc].size; if(k<=lsize)return query(tr[x].lc,l,mid,k); else return query(tr[x].rc,mid+1,r,k-lsize); } int main() { //freopen("lx.in","r",stdin); //freopen("lx1.out","w",stdout); n=getint(),m=getint(),Q=getint(); for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i,h[i]=getint(),mx=max(mx,h[i]); for(int i=1;i<=n;i++)Insert(rt[i],1,mx,h[i]); for(int i=1;i<=m;i++)bian[i].x=getint(),bian[i].y=getint(),bian[i].val=getint(); sort(bian+1,bian+m+1); for(int i=1;i<=Q;i++) q[i].x=getint(),q[i].val=getint(),q[i].y=getint(),q[i].id=i; sort(q+1,q+Q+1); for(int i=1,j=1;i<=Q;i++) { while(bian[j].val<=q[i].val&&j<=m) { int x=find(bian[j].x),y=find(bian[j].y); j++; if(x!=y)fa[y]=x,rt[x]=merge(rt[x],rt[y],1,mx); } int x=find(q[i].x),k=q[i].y,sz=tr[rt[x]].size; if(k>sz)ans[q[i].id]=-1; else ans[q[i].id]=query(rt[x],1,mx,sz+1-k); } for(int i=1;i<=Q;i++)printf("%d\n",ans[i]); }
在线版:
#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; int getint() { int i=0,f=1;char c; for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar()); if(c=='-')f=-1,c=getchar(); for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0'; return i*f; } const int N=200005,M=500005; int n,m,Q,mx,ans,h ,id ; int ecnt,first ,to ,nxt ; int idx,cnt,in ,out ,fa [20],val ; int tot,rt ; struct edge { int x,y,val; inline friend bool operator < (const edge &a,const edge &b) {return a.val<b.val;} }bian[M]; struct node{int lc,rc,size;}tr[5000000]; int find(int x){return id[x]==x?x:id[x]=find(id[x]);} void add(int x,int y) { nxt[++ecnt]=first[x],first[x]=ecnt,to[ecnt]=y; } int find_root(int x,int lim) { for(int i=19;i>=0;i--) if(fa[x][i]&&val[fa[x][i]]<=lim)x=fa[x][i]; return x; } void Insert(int y,int &x,int l,int r,int v) { tr[x=++tot]=tr[y]; tr[x].size++; if(l==r)return; int mid=l+r>>1; if(v<=mid)Insert(tr[y].lc,tr[x].lc,l,mid,v); else Insert(tr[y].rc,tr[x].rc,mid+1,r,v); } int query(int x,int y,int l,int r,int k) { if(l==r)return l; int mid=l+r>>1,lsize=tr[tr[y].lc].size-tr[tr[x].lc].size; if(k<=lsize)return query(tr[x].lc,tr[y].lc,l,mid,k); else return query(tr[x].rc,tr[y].rc,mid+1,r,k-lsize); } void dfs(int u) { in[u]=++idx; for(int i=1;i<20;i++)fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1]; if(u<=n)Insert(rt[in[u]-1],rt[in[u]],1,mx,h[u]); else tr[rt[in[u]]=++tot]=tr[rt[in[u]-1]]; for(int e=first[u];e;e=nxt[e]) { int v=to[e];fa[v][0]=u; dfs(v); } out[u]=idx; } int main() { //freopen("lx.in","r",stdin); //freopen("lx.out","w",stdout); n=getint(),m=getint(),Q=getint(); for(int i=1;i<=n;i++)id[i]=i,val[++cnt]=0,h[i]=getint(),mx=max(mx,h[i]); for(int i=1;i<=m;i++)bian[i].x=getint(),bian[i].y=getint(),bian[i].val=getint(); sort(bian+1,bian+m+1); for(int i=1;i<=m;i++) { int x=find(bian[i].x),y=find(bian[i].y); if(x==y)continue; id[++cnt]=cnt,val[cnt]=bian[i].val,id[x]=id[y]=cnt; add(cnt,x),add(cnt,y); } for(int i=cnt;i;i--)if(!in[i])dfs(i); while(Q--) { int v=getint(),lim=getint(),k=getint(); if(ans!=-1)v^=ans,lim^=ans,k^=ans; v=find_root(v,lim); int x=rt[in[v]-1],y=rt[out[v]],sz=tr[y].size-tr[x].size; if(sz<k)ans=-1,puts("-1"); else printf("%d\n",ans=query(x,y,1,mx,sz+1-k)); } return 0; }
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