MATLAB 矩阵处理

科学计算与MATLAB语言

刘卫国、蔡旭晖、吕格莉、何小贤

特殊矩阵

相关函数

zeros()

：产生全0矩阵，即零矩阵

ones()

：产生全1矩阵，即幺矩阵

eye()

：产生对角线为1的矩阵。当矩阵是方阵时，得到一个单位矩阵

rand()

：产生，(0，1)，(0，1)区间均匀分布的随机矩阵

randn()

：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵

一些技巧

rand()

产生随机数 x；

fix(a+(b-a)*x)

产生，(a，b)，(a，b)区间上均匀分布的随机整数

randn()

产生随机数 y；μ+σyμ+σy 得到均值为μμ、方差为σ2σ2的随机数

特定用途的矩阵

魔方矩阵（幻方） – Magic Square

n>2n>2 时有很多不同的 n 阶魔方阵，MATLAB函数

magic(n)

产生一个特定的魔方阵。

nn阶魔方阵每行每列元素的和为(1+2+3+…+n2)/n=(n+n3)/2(1+2+3+…+n2)/n=(n+n3)/2



范德蒙（Vandermonde）矩阵

vander()

最后一列全为1，即向量v各元素的零次方

倒数第二列为指定的向量v， 即向量v各元素的一次方

其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积



希尔伯特（Hilbert）矩阵

hilb()

元素H(i,j)=1/(i+j−1)H(i,j)=1/(i+j−1)

希尔伯特矩阵是著名的病态矩阵，即任何一个元素发生较小的变动，整个矩阵的值和逆矩阵都会发生很大变化。病态程度和矩阵的阶数相关，随着阶数的增加病态越严重。



伴随矩阵

compan()

矩阵A


多项式 p(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0p(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0，则其伴随矩阵为 A，A 的特征多项式为 p(x)p(x)

伴随矩阵的特征值等于多项式方程的根

帕斯卡（Pascal）矩阵

即杨辉三角

帕斯卡矩阵的逆矩阵的所有元素也为整数

矩阵变换

提取矩阵元素

对角阵：只有对角线上有非零元素的矩阵。

数量矩阵：主对角线上的元素相等的对角矩阵。

矩阵的对角线： 与主对角线平行，往右上为第1条、第2条、 一直到第n条对角线，往左下为第-1条、 -2条、 一直到-n条对角线。主对角线为第0条对角线

diag(A,k)

：提取矩阵 A 第 k 条对角线的元素，产生一个列向量（k 默认为0）

diag(V,k)

：以向量 V 为第 k 条对角线元素，产生对角矩阵（k 默认为0）

改变元素位置

转置运算符是小数点后面接单引号

.'

共轭转置的运算符是单引号

'

，在转置的基础上取每个数的复共轭

如果矩阵的元素是实数，那么转置和共轭转置的结果是一样的

triu(A,k)

：提取矩阵 A 的第 k 条对角线及以上的元素，其余元素为0，产生一个与原矩阵同型的矩阵（k 默认为0）

tril(A,k)

：提取矩阵 A 的第 k 条对角线及以下的元素（k 默认为0）

rot90(A,k)

：将矩阵A逆时针方向旋转 º90º∗kº90º∗k（k 默认为1）

fliplr(A)

：对矩阵A实施左右翻转（镜面对称）

flipud(A)

：对矩阵A实施上下翻转

矩阵求逆

inv(A)

：求方阵A的逆矩阵

A\eye(n)

：n 为 A 的阶

eye(n)/A

：n 为 A 的阶

矩阵求值

det(A)

：求方阵A所对应的行列式的值

rank(A)

：求矩阵A的秩

trace(A)

：求矩阵A的迹（矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和）

向量的范数

向量1—范数：向量元素的绝对值之和。

norm(V,1)

向量2—范数：向量元素平方和的平方根。

norm(V)

或

norm(V,2)

向量∞—范数：所有向量元素绝对值中的最大值。

norm(V,inf)

矩阵的范数

矩阵A的1—范数：所有矩阵列元素绝对值之和的最大值

矩阵A的2—范数：矩阵A的最大特征值的平方根

矩阵A的∞—范数：所有矩阵行元素绝对值之和的最大值

调用形式与向量相同

矩阵的条件数

矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积

条件数越接近于1，矩阵的性能越好，反之，矩阵的性能越差

cond(A,1)

：计算A的1—范数下的条件数。

cond(A)

或

cond(A,2)

：计算A的2—范数数下的条件数

cond(A,inf)

：计算A的∞—范数下的条件数

矩阵的特征值与特征向量

E=eig(A)

：求矩阵A的全部特征值，构成向量E

[X,D]=eig(A)

：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D， 并产生矩阵X， X各列是相应的特征向量

稀疏矩阵

矩阵的存储方式

完全存储方式： 将矩阵的全部元素按列存储

稀疏存储方式： 只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和

列号

A=sparse(S)

： 将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A。

S=full(A)

： 将矩阵A转化为完全存储方式的矩阵S

稀疏矩阵的生成

sparse(m,n)

：生成一个m×n的所有元素都是零的稀疏矩阵

sparse(u,v,S)

：其中u、 v、 S是3个等长的向量。S是要建立的稀

疏存储矩阵的非零元素，

u(i)

、

v(i)

分别是

S(i)

的行和列下标

使用

spconvert()

直接建立稀疏存储矩阵，其调用格式为

B=spconvert(A)

A为一个m×3或m×4的矩阵，其每行表示一个非零元素， m是非零元素的个数

A(i,1)

表示第i个非零元素所在的行

A(i,2)

表示 第i个非零元素所在的列

A(i,3)

表示第i个非零元素值的实部

A(i,4)

表示第i个非零元素值的虚部。若矩阵的全部元素都是实数，则无须第4列

speye(m,n)

返回一个m×n的稀疏存储单位矩阵

带状稀疏矩阵

是一种具有规则结构的稀疏矩阵，其所有非零元素集中在对角线上（不只是主对角线）

[B,d]=spdiags(A)

：从带状稀疏矩阵A中提取全部非零对角线元素赋给矩阵B及其这些非零对角线的位置向量d

A=spdiags(B,d,m,n)

：产生带状稀疏矩阵的稀疏存储矩阵A， 其中m、 n为原带状稀疏矩阵的行数与列数，矩阵B的第i列即为原带状稀疏矩阵的第i条非零对角线， 向量d为原带状稀疏矩阵所有非零对角线的位置

应用举例

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