小白算法学习 凸包 graham

一.概念：凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。X的凸包可以用X内所有点(X1，...Xn)的线性组合来构造.在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有的点。例子：假设平面上有p0~p12共13个点，过某些点作一个多边形，使这个多边形能把所有点都“包”起来。当这个多边形是凸多边形的时候，我们就叫它“凸包”。如下图： 


二.解法：Graham扫描法时间复杂度：O(n㏒n) 
思路：Graham扫描的思想是先找到凸包上的一个点，然后从那个点开始按逆时针方向逐个找凸包上的点，实际上就是进行极角排序，然后对其查询使用。 


 
步骤：把所有点放在二维坐标系中，则纵坐标最小的点一定是凸包上的点，如图中的P0。
把所有点的坐标平移一下，使 P0 作为原点，如上图。
计算各个点相对于 P0 的幅角 α ，按从小到大的顺序对各个点排序。当 α 相同时，距离 P0 比较近的排在前面。例如上图得到的结果为 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8。我们由几何知识可以知道，结果中第一个点 P1 和最后一个点 P8 一定是凸包上的点。 
（以上是准备步骤，以下开始求凸包） 
以上，我们已经知道了凸包上的第一个点 P0 和第二个点 P1，我们把它们放在栈里面。现在从步骤3求得的那个结果里，把 P1 后面的那个点拿出来做当前点，即 P2 。接下来开始找第三个点：
连接P0和栈顶的那个点，得到直线 L 。看当前点是在直线 L 的右边还是左边。如果在直线的右边就执行步骤5；如果在直线上，或者在直线的左边就执行步骤6。
如果在右边，则栈顶的那个元素不是凸包上的点，把栈顶元素出栈。执行步骤4。
当前点是凸包上的点，把它压入栈，执行步骤7。
检查当前的点 P2 是不是步骤3那个结果的最后一个元素。是最后一个元素的话就结束。如果不是的话就把 P2 后面那个点做当前点，返回步骤4。
　　最后，栈中的元素就是凸包上的点了。 
　　以下为用Graham扫描法动态求解的过程： 


　　下面静态求解过程











三.模板

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define PI 3.1415926535
using namespace std;
struct node
{
int x,y;
};
node vex[1000];//存入的所有的点
node stackk[1000];//凸包中所有的点
int xx,yy;
bool cmp1(node a,node b)//排序找第一个点
{
if(a.y==b.y)
return a.x<b.x;
else
return a.y<b.y;
}
int cross(node a,node b,node c)//计算叉积
{
return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y);
}
double dis(node a,node b)//计算距离
{
return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)*1.0+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
bool cmp2(node a,node b)//极角排序另一种方法，速度快
{
if(atan2(a.y-yy,a.x-xx)!=atan2(b.y-yy,b.x-xx))
return (atan2(a.y-yy,a.x-xx))<(atan2(b.y-yy,b.x-xx));
return a.x<b.x;
}
bool cmp(node a,node b)//极角排序
{
int m=cross(vex[0],a,b);
if(m>0)
return 1;
else if(m==0&&dis(vex[0],a)-dis(vex[0],b)<=0)
return 1;
else return 0;
/*if(m==0)
return dis(vex[0],a)-dis(vex[0],b)<=0?true:false;
else
return m>0?true:false;*/
}
int main()
{
int t,L;
while(~scanf("%d",&t),t)
{
int i;
for(i=0; i<t; i++)
{
scanf("%d%d",&vex[i].x,&vex[i].y);
}
if(t==1)
printf("%.2f\n",0.00);
else if(t==2)
printf("%.2f\n",dis(vex[0],vex[1]));
else
{
memset(stackk,0,sizeof(stackk));
sort(vex,vex+t,cmp1);
stackk[0]=vex[0];
xx=stackk[0].x;
yy=stackk[0].y;
sort(vex+1,vex+t,cmp2);//cmp2是更快的，cmp更容易理解
stackk[1]=vex[1];//将凸包中的第两个点存入凸包的结构体中
int top=1;//最后凸包中拥有点的个数
for(i=2; i<t; i++)
{
while(i>=1&&cross(stackk[top-1],stackk[top],vex[i])<0)   //对使用极角排序的i>=1有时可以不用，但加上总是好的
top--;
stackk[++top]=vex[i];                                    //控制<0或<=0可以控制重点，共线的，具体视题目而定。
}
double s=0;
//for(i=1; i<=top; i++)//输出凸包上的点
//cout<<stackk[i].x<<" "<<stackk[i].y<<endl;
for(i=1; i<=top; i++)   //计算凸包的周长
s+=dis(stackk[i-1],stackk[i]);
s+=dis(stackk[top],vex[0]);//最后一个点和第一个点之间的距离
/*s+=2*PI*L;
int ans=s+0.5;//四舍五入
printf("%d\n",ans);*/
printf("%.2lf\n",s);
}
}
}