Senior Data Structure · 浅谈线段树（Segment Tree）

一、简介线段树

psps: 此处以询问区间和为例

线段树之所以称为“树”，是因为其具有树的结构特性。线段树由于本身是专门用来处理区间问题的（包括RMQRMQ、RSQRSQ问题等），所以其结构可以近似的看做一棵二叉查找树：



emmmmmemmmmm图是从网上偷的

对于每一个子节点而言，都表示整个序列中的一段子区间；对于每个叶子节点而言，都表示序列中的单个元素信息；子节点不断向自己的父亲节点传递信息，而父节点存储的信息则是他的每一个子节点信息的整合。

有没有觉得很熟悉？对，线段树就是分块思想的树化，或者说是对于信息处理的二进制化——用于达到O(logn)O(logn)级别的处理速度，loglog以22为底。（其实以几为底都只不过是个常数，可忽略)。而分块的思想，则是可以用一句话总结为：通过将整个序列分为有穷个小块，对于要查询的一段区间，总是可以整合成kk个所分块与mm个单个元素的信息的并(0<=k,m<=n−−√)(0<=k,m<=n)。但普通的分块不能高效率地解决很多问题，所以作为loglog级别的数据结构，线段树应运而生。

二、逐步分析线段树的构造实现

1、建树与维护

由于二叉树的自身特性，对于每个父亲节点的编号ii,他的两个儿子的编号分别是2i2i和2i+12i+1，所以我们考虑写两个O(1)O(1)的取儿子函数：

int n;
int ans[MAXN*4];

inline int ls(int p){
return p<<1;
}//左儿子
inline int rs(int p){
return p<<1|1;
}//右儿子

ps:ps:此处的inlineinline可以有效防止无需入栈的信息入栈，节省时间和空间

那么根据线段树的服务对象，可以得到线段树的维护:

void push_up_sum(int p){
t[p]=t[lc(p)]+t[rc(p)];
}// 向上不断维护区间操作

void push_up_min(int p)//max
{
t[p]=min(t[lc(p)],t[rc(p));
//t[p]=max(t[lc(p)],t[rc(p));
}

此处一定要注意，pushuppushup操作的目的是为了维护父子节点之间的逻辑关系。当我们递归建树时，对于每一个节点我们都需要遍历一遍，并且电脑中的递归实际意义是先向底层递归，然后从底层向上回溯，所以开始递归之后必然是先去整合子节点的信息，再向它们的祖先回溯整合之后的信息。(这其实是正确性的证明啦)

那么对于建树，由于二叉树自身的父子节点之间的可传递关系，所以可以考虑递归建树（emmmmemmmm之前好像不小心剧透了qwqqwq），并且在建树的同时，我们应该维护父子节点的关系：

void build(ll p,ll l,ll r)
{
if(l==r){ans[p]=a[l];return ;}
//如果左右区间相同，那么必然是叶子节点啦，只有叶子节点是被真实赋值的
ll mid=(l+r)>>1;
build(ls(p),l,mid);
build(rs(p),mid+1,r);
//此处由于我们采用的是二叉树，所以对于整个结构来说，可以用二分来降低复杂度，否则树形结构则没有什么明显的优化
push_up(p);
//此处由于我们是要通过子节点来维护父亲节点，所以pushup的位置应当是在回溯时。
}

2、接下来谈区间修改

为什么不讨论单点修改呢qwqqwq?因为其实很显然，单点修改就是区间修改的一个子问题而已，即区间长度为11时进行的区间修改操作罢了qwqqwq

那么对于区间操作，我们考虑引入一个名叫“lazylazy tagtag”（懒标记）的东西——之所以称其“lazylazy”，是因为原本区间修改需要通过先改变叶子节点的值，然后不断地向上递归修改祖先节点直至到达根节点，时间复杂度最高可以到达O(nlogn)O(nlogn)的级别。但当我们引入了懒标记之后，区间更新的期望复杂度就降到了O(logn)O(logn)的级别且甚至会更低.

不扯淡了，聊正事：

（1）首先先来从分块思想上解释如何区间修改：

分块的思想是通过将整个序列分为有穷个小块，对于要查询的一段区间，总是可以整合成kk个所分块与mm个单个元素的信息的并(0<=k,m<=logn)(0<=k,m<=logn)(小小修改了一下的上面的前言qwqqwq)

那么我们可以反过来思考这个问题：对于一个要修改的、长度为ll的区间来说，总是可以看做由一个长度为22^loglog(⌊n⌋⌊n⌋)和剩下的元素（或者小区间组成）。那么我们就可以先将其拆分成线段树上节点所示的区间，之后分开处理：

如果单个元素被包含就只改变自己，如果整个区间被包含就修改整个区间

其实好像这个在分块里不是特别简单地实现，但是在线段树里，无论是元素还是区间都是线段树上的一个节点，所以我们不需要区分区间还是元素，加个判断就好。

### （2）懒标记的正确打开方式

首先，懒标记的作用是记录每次、每个节点要更新的值，也就是deltadelta,但线段树的优点不在于全记录（全记录依然很慢qwq），而在于传递式记录：

* 整个区间都被操作，记录在公共祖先节点上；只修改了一部分，那么就记录在这部分的公共祖先上；如果四环以内只修改了自己的话，那就只改变自己。*

AfterAfter thatthat，如果我们采用上述的优化方式的话，我们就需要在每次区间的查询修改时pushdownpushdown一次，以免重复或者冲突或者爆炸qwqqwq

那么对于pushdownpushdown而言，其实就是纯粹的pushuppushup的逆向思维(但不是逆向操作)：

因为修改信息存在父节点上，所以要由父节点向下传导lazylazy tagtag

那么问题来了：怎么传导pushdownpushdown呢？这里很有意思，开始回溯时执行pushuppushup,因为是向上传导信息；那我们如果要让它向下更新，就调整顺序，在向下递归的时候pushdownpushdown不就好惹~qwqqwq：

inline void f(ll p,ll l,ll r,ll k)
{
tag[p]=tag[p]+k;
ans[p]=ans[p]+k*(r-l+1);
//由于是这个区间统一改变，所以ans数组要加元素个数次啦
}
//我们可以认识到，f函数的唯一目的，就是记录当前节点所代表的区间
inline void push_down(ll p,ll l,ll r)
{
ll mid=(l+r)>>1;
f(ls(p),l,mid,tag[p]);
f(rs(p),mid+1,r,tag[p]);
tag[p]=0;
//每次更新两个儿子节点。以此不断向下传递
}
inline void update(ll nl,ll nr,ll l,ll r,ll p,ll k)
{
//nl,nr为要修改的区间
//l,r,p为当前节点所存储的区间以及节点的编号
if(nl<=l&&r<=nr)
{
ans[p]+=k*(r-l+1);
tag[p]+=k;
return ;
}
push_down(p,l,r);
//回溯之前（也可以说是下一次递归之前，因为没有递归就没有回溯）
//由于是在回溯之前不断向下传递，所以自然每个节点都可以更新到
ll mid=(l+r)>>1;
if(nl<=mid)update(nl,nr,l,mid,ls(p),k);
if(nr>mid) update(nl,nr,mid+1,r,rs(p),k);
push_up(p);
//回溯之后
}

（3）那么对于区间查询

没什么好说的，由于是信息的整合，所以还是要用到分块思想，我实在是不想再码一遍了qwqqwq

ll query(ll q_x,ll q_y,ll l,ll r,ll p)
{
ll res=0;
if(q_x<=l&&r<=q_y)return ans[p];
ll mid=(l+r)>>1;
push_down(p,l,r);
if(q_x<=mid)res+=query(q_x,q_y,l,mid,ls(p));
if(q_y>mid) res+=query(q_x,q_y,mid+1,r,rs(p));
return res;
}

最后贴高清无码的标程：

（还有，输入大数据一定不要用不加优化的cin/cout啊）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define MAXN 1000001
#define ll long long
using namespace std;
unsigned ll n,m,a[MAXN],ans[MAXN<<2],tag[MAXN<<2];
inline ll ls(ll x)
{
return x<<1;
}
inline ll rs(ll x)
{
return x<<1|1;
}
void scan()
{
cin>>n>>m;
for(ll i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
}
inline void push_up(ll p)
{
ans[p]=ans[ls(p)]+ans[rs(p)];
}
void build(ll p,ll l,ll r)
{
tag[p]=0;
if(l==r){ans[p]=a[l];return ;}
ll mid=(l+r)>>1;
build(ls(p),l,mid);
build(rs(p),mid+1,r);
push_up(p);
}
inline void f(ll p,ll l,ll r,ll k)
{
tag[p]=tag[p]+k;
ans[p]=ans[p]+k*(r-l+1);
}
inline void push_down(ll p,ll l,ll r)
{
ll mid=(l+r)>>1;
f(ls(p),l,mid,tag[p]);
f(rs(p),mid+1,r,tag[p]);
tag[p]=0;
}
inline void update(ll nl,ll nr,ll l,ll r,ll p,ll k)
{
if(nl<=l&&r<=nr)
{
ans[p]+=k*(r-l+1);
tag[p]+=k;
return ;
}
push_down(p,l,r);
ll mid=(l+r)>>1;
if(nl<=mid)update(nl,nr,l,mid,ls(p),k);
if(nr>mid) update(nl,nr,mid+1,r,rs(p),k);
push_up(p);
}
ll query(ll q_x,ll q_y,ll l,ll r,ll p)
{
ll res=0;
if(q_x<=l&&r<=q_y)return ans[p];
ll mid=(l+r)>>1;
push_down(p,l,r);
if(q_x<=mid)res+=query(q_x,q_y,l,mid,ls(p));
if(q_y>mid) res+=query(q_x,q_y,mid+1,r,rs(p));
return res;
}
int main()
{
ll a1,b,c,d,e,f;
scan();
build(1,1,n);
while(m--)
{
scanf("%lld",&a1);
switch(a1)
{
case 1:{
scanf("%lld%lld%lld",&b,&c,&d);
update(b,c,1,n,1,d);
break;
}
case 2:{
scanf("%lld%lld",&e,&f);
printf("%lld\n",query(e,f,1,n,1));
break;
}
}
}
return 0;
}