数据结构——浙大网易云课堂记录（一）树（中篇）

二叉搜索树
查找操作Find

插入操作Insert

删除操作Delete

平衡二叉树
平衡二叉树高度

平衡二叉树的调整
RR旋转

LL旋转

LR旋转

RL旋转

二叉搜索树

利用二叉树搜索树（BST，Binary Search Tree），提高查找效率。设

左儿子的节点值<父节点值<右儿子节点值

，在树中搜索

X

，每遇到一个节点，将

X

的值和节点值做比较，若

X

较小，去左子树继续查找；若

X

较大，去右子树继续查找；直至全部节点比较完毕或查找到元素。

查找操作Find

Position Find(ElementType X, BinTree BST){
if(!BST) return NULL; // 查找失败
if(X < BST -> Data){
return Find(BST -> Left);
}else if(X > BST -> Data){
return Find(BST -> Right);
}else{
return BST; // BST -> Data == X
}
}

上述方法中有尾递归，即递归的调用出现在函数末尾，本例是在

return

语句。可以将尾递归函数更改为迭代函数。

Position IterFind(ElementType X, BinTree BST) {
while(BST) {
if(X < BST -> Data){
BST = BST -> Left;
}else if(X > BST -> Right){
BST = BST -> Right;
}else{
return BST;
}
}
return NULL; // 查找失败
}

如果树“不平衡”，比如所有节点没有右儿子，那么

N

个节点构成的数的深度是

N-1

，此时查找次数达不到理想的

log(N)

。

插入操作Insert

如果树空，新建节点，给新节点赋值，返回指向该新节点的指针。

如果插入值比根节点小，去左子树插值。

如果插入值比根节点大，去右子树插值。

BinTree Insert(ElementType X, BinTree BST){
if(!BST){
BST = malloc(sizeof(struct TreeNode));
BST -> Data = X;
BST ->left = NULL;
BST -> Right = NULL;
}else if(X < BST -> Data){
BST -> Left = Insert(X, BST -> Left);
}else(X > BST -> Data){
BST -> Right= Insert(X, BST -> Right);
}
return BST;
}

这个函数和搜索有点像，但是多了一个返回值。返回的节点会被赋给父节点的左儿子或右儿子，继而，更新过后（已经插入新节点）的子树会“连”回根节点，一层层向上……

删除操作Delete

查找到该元素

分情况

1.被删的节点是叶节点，直接让它的父节点指向它的指针为null

2.被删的节点只有一个儿子，，让它的父节点指向它的儿子

3.被删的节点左右子树都非空，转化为第二种情况：在左子树中找到最大值（没有右儿子）或在右子树中找到最小值（没有左儿子），用最值节点代替被删节点，然后删除最值节点。

平衡二叉树

树的形状影响搜索效率。

定义平衡因子（Balance Factor，BF）：

BF(T) = hL - hR

，其中

hL

、

hR

分别是左右子树高度。

平衡二叉树（Balanced Binary Tree，AVL Tree）：

空树，或者

对任一节点，有

|BT(T)| <= 1

。

平衡二叉树高度

节点数为

n

，最大高度

O(logn)

，证明：利用斐波那契数列。

平衡二叉树的调整

RR旋转

LL旋转

LR旋转

RL旋转