【状压DP】 ◆HihoCoder 1048◆ 状态压缩·二

◆HihoCoder 1048◆

状态压缩·二

□题目□

自古Hiho题目长……懒得copy了，下面是HihoCoder的原网址：

HihoCoder 1048

□解析□

动态规划分为两种——计数类（比如这道题 : )）和最优解类。

这道题就是一个标准的计数类动态规划。毕竟这道题的算法是状态压缩DP，用普通的DP是肯定行不通的——因为我们不能单点枚举（即从上至下、从左到右），只能逐行计算（正常的思维都是逐行计算，如果你一定要逐列计算……en…… :- P），所以我们针对行来状态压缩。

能够状态压缩的量一定是只包含 0 或 1 的数组，即 bool 数组，所以我们需要把行上的值转换为 01数列 ——最简单的方法就是把空记为0，把有骨牌的地方记为1。那么状态定义就很简单了： dp[S][i] 表示第i行的状态为S时的方案总数。

我们很容易想到第i行的摆放方式只与第 i-1 行有关。但是……在第一行时就没有办法通过上一行推导摆放方式了，所以我们需要特判：第一行可以只可以留空或者横着摆放骨牌（竖着放牌只考虑覆盖上一行的情况，所以不行）。那么我们可以通过一个 while循环判断：

bool CheckFirstLine(int S)
{
int i=0;
while(i<c)
{
if(!((1<<i)&S)) i++;
else if(i==c-1 || !((1<<i+1)&S)) return false;
else i+=2;
}
return true;
}

嗯，结合代码理解。这个代码非常简单，先枚举第一行的每一个元素i，如果元素i是空也就是元素i等待第二行的元素i来填充，这种情况是绝对正确的，所以直接到下面一个元素；如果元素i填充了，则一定是横放的——第i+1个元素也一定会被填充——如果没有填充，则返回错误；由于最后一个元素不能横放（不存在元素i+1），所以如果最后一个元素被填充了，则返回错误。

接下来每行就需要特殊判断了，继续上代码：

bool CheckLines(int S,int lS,int x) //lS:第x-1行的状态，S:第x行的状态
{
int i=0;
while(i<c)
{
if(!((1<<i)&S))
if(!((1<<i)&lS)) return false;
else i++;
else
if(!((1<<i)&lS)) i++;
else
if(i==c-1 || !(((1<<i+1)&S) && ((1<<i+1)&lS))) return false;
else i+=2;
}
return true;
}

分为两类——元素i被填充以及未填充：

1. 如果未填充：若x-1行的元素i未被填充，则错误（x-1行有空）；否则允许，检查第i+1个元素；

2. 如果已填充：若x-1行的元素i未被填充，则允许，检查第i+1个元素；剩下的情况则是横放，若第x行的元素i+1未被填充，或者第x-1行的元素i+1未被填充，或者已经是最后一个元素，则返回错误，否则允许，检查第i+2个元素；

在

main()

中，先枚举第一行的情况，判断该情况是否允许，若是，则将dp[S][0]赋值1（一种方法）；再枚举第i(1 < i < c)行和第i+1行的情况，若允许，则加方案：

dp[S][i]=sum(dp[lS][i-1]) | S与lS兼容

最后输出最后一行情况为满的方案数。（嗯哼？建议开一下long long）

□代码□

我知道有人是以dfs来计算摆放方式的，但是我写的是枚举 -_-|||

/*Lucky_Glass*/
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define MAXR 1000
#define MAXC 5
int r,c;
long long dp[(1<<MAXC)+5][MAXR];
bool CheckFirstLine(int S)
{
int i=0;
while(i<c)
{
if(!((1<<i)&S)) i++;
else if(i==c-1 || !((1<<i+1)&S)) return false;
else i+=2;
}
return true;
}
bool CheckLines(int S,int lS,int x)
{
int i=0;
while(i<c)
{
if(!((1<<i)&S))
if(!((1<<i)&lS)) return false;
else i++;
else
if(!((1<<i)&lS)) i++;
else
if(i==c-1 || !(((1<<i+1)&S) && ((1<<i+1)&lS))) return false;
else i+=2;
}
return true;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&r,&c);
int AllKind=(1<<c)-1;
for(int S=0;S<=AllKind;S++)
if(CheckFirstLine(S))
dp[S][0]=1;
for(int i=1;i<r;i++)
for(int S=0;S<=AllKind;S++)
for(int tS=0;tS<=AllKind;tS++)
if(CheckLines(S,tS,i))
dp[S][i]+=dp[tS][i-1],dp[S][i]%=MOD;
printf("%lld\n",dp[AllKind][r-1]);
return 0;
}

The End

Thanks for reading!

-Lucky_Glass