POJ 1061 BZOJ 1477 Luogu P1516 青蛙的约会 (扩展欧几里得算法)

题目链接: (poj)http://poj.org/problem?id=1061

(bzoj)http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1477

(Luogu)https://www.luogu.org/problemnew/show/P1516

数据强度对比: 在以上三个OJ中，本题Luogu数据最强。使用一种错误代码在BZOJ与POJ均能AC，而Luogu无法AC.

题目大意:

求解方程u+mx≡v+nx(modp)u+mx≡v+nx(modp)注意这里的u,v,m,n,p分别对应题目中的x,y,n,m,L.

思路分析:

解同余方程？很经典的使用exgcd算法的问题。(简单一点的exgcd解同余方程的题目可参照luogu P1082 NOIP 2012 D2 T1 同余方程，题目链接https://www.luogu.org/problem/show?pid=1082)

一般来说，如果是形如ax≡c(modb)ax≡c(modb)的同余方程都可化为ax+by=cax+by=c的形式，用exgcd算法求解后xx的值即为原方程的解。

所以直接化一化式子即可: u+mx≡v+nx(modp)u+mx≡v+nx(modp)u+mx−v−nx≡0(modp)u+mx−v−nx≡0(modp)(m−n)x≡v−u(modp)(m−n)x≡v−u(modp)代入上面的公式，令a=m−n,c=v−u,b=pa=m−n,c=v−u,b=p可得答案即为不定方程(m−n)x+py=v−u(m−n)x+py=v−u的所有解中x最小且为整数的解的x值.

注意讨论正数与负数的情况。现假设m>nm>n.

如果gcd(m−n,p)gcd(m−n,p)不整除|v−u||v−u|(注意v不一定大于u), 则无解

否则直接exgcd即可。求出(m−n)x+py=gcd(m−n,p)(m−n)x+py=gcd(m−n,p)的一组解，乘以v−ugcd(m−n,p)v−ugcd(m−n,p)(注意不加绝对值)即可. 于是我们求出了特解。

如何求x>0且最小的解呢? 我们发现若ax+by=cax+by=c特解为x=x0,y=y0x=x0,y=y0则通解为x=x0+bgcd(a,b)t,y=y0−agcd(a,b)tx=x0+bgcd(a,b)t,y=y0−agcd(a,b)t(t取任意整数)(一定注意不要忘记除以gcd!!!)因此在数学上对bgcd(a,b)bgcd(a,b)取模即可。

注意此处“在数学上”AmodBAmodB是指A≡X(modB)A≡X(modB)且0≤X<b0≤X<b的唯一的X, 但是在C++语言编程中不能这样取模，C++中负数取模的含义是

(-A) % B == -(A % B) (A>0,B>0)

例如

(-6) % 5 = -1
(-7) % 4 = -3
(-18) % 9 = 0

其返回值xx满足−B<x≤0−B<x≤0

因此在数学上负整数−A−A对正整数BB取模，就相当于在C++语言中的

(((-A)%B)+B)%B

(注: 以上关于取模的分析过程均采用大写，关于不定方程的分析过程均采用小写)

代入−A=x0,B=bgcd(a,b)−A=x0,B=bgcd(a,b)即可，再将a,b分别换成原方程中的m−nm−n和pp，直接畅通无阻地使用exgcd即可。

部分易错点

1. 很容易炸long long, 一定注意。

代码实现

(三个OJ均AC)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

long long u,v,m,n,p;

long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
if(b==0ll) {x = 1ll; y = 0ll; return a;}
long long ret = exgcd(b,a%b,y,x); y -= a/b*x;
return ret;
}

long long gcd(long long a,long long b)
{
if(b==0ll) return a;
else return gcd(b,a%b);
}

long long absl(long long x)
{
return x>0ll ? x : -x;
}

void swap_ll(long long &x,long long &y)
{
long long c = x; x = y; y = c;
}

int main()
{
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&u,&v,&m,&n,&p);
long long x,y;
if(m==n) {puts("Impossible"); return 0;}
if(m-n<0) {swap_ll(u,v); swap_ll(m,n);}
if(absl(v-u)%gcd(m-n,p)!=0) {puts("Impossible"); return 0;}
exgcd(m-n,p,x,y);
long long s = x*((v-u)/gcd(m-n,p)); //此处一定是用(v-u)/gcd(m-n,p),x不一定被gcd整除
long long g = p/gcd(m-n,p); //把g直接当成了p使用，在BZOJ和POJ居然AC，所幸Luogu WA
s = ((s%g)+g)%g;
printf("%lld\n",s);
return 0;
}