Atcoder Grand Contest 017 F Zigzag

Zigzag

Problem Statement

有一些点，共n行，第i行有i个点，记第i行第j个点为(i,j)，(i,j)每次可以往左下走到(i+1,j)，或往右下走到(i+1,j+1)，现在有m条由(1,1)走到第n行的路径，设Xp,i表示第p条路径经过了点(i,Xp,i)，要求对于1<=p<m，1< i <=n，必须要有Xp,i<=Xp+1,i，接下来给出若干条件形如(a,b,c)表示强制Xa,b+1=Xa,b+c，求这m条路径在满足条件下的方案数模10^9+7。

Data Constraint

n,m≤20

Solution

我们显然可以把一条路径表示成一个n-1位的二进制数。

假设已经求出第i-1条的状态S的方案数fi−1,S，再确认第i条路径的状态S′，设它们的前j-1位都相同，接着第j位开始就不同了，S的第j位为0，S′的为1,那么显然我们可以把S在第j位后的第一个1变成0,把第j位的0变为1,设得到的新状态为T,那么就能同层转移到fi−1,T，显然这样变动S是正确的。

若在第j位后没有1了，那接下来可以乱走了都没问题了，根据这个就可dp了。

时间复杂度O(nm2n−1)，详细实现可以参考代码。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

#define fo(i,j,l) for(int i=j;i<=l;++i)
#define fd(i,j,l) for(int i=j;i>=l;--i)

using namespace std;
typedef long long LL;
const LL N=21,M=(1<<19)+3,mo=1e9+7;

int dir

,m2[N<<1],nex[N<<1];
int n,m,k,a,b,c;
LL f[2]
[M],g
[M];

int main()
{
cin>>n>>m>>k; --n;
fo(i,1,k){
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
dir[a][b]=c+1;
}
int u=0,v;
f[0][0][0]=1;
m2[1]=1;
fo(i,2,n+1)m2[i]=m2[i-1]<<1;
int zd=(m2
<<1)-1;
fo(p,1,m){
v=u^1;
fo(l,0,n)fo(i,0,zd)f[v][l][i]=0;
fo(l,0,n)fo(i,0,zd)g[l][i]=0;
fd(i,zd,0){
LL ok=f[u][0][i]%mo; nex
=n+1;
fd(l,n,2)if(i&m2[l])nex[l-1]=l;else nex[l-1]=nex[l];
if(!i)g[0][0]=ok;
fo(l,1,n){
if((i&m2[l])==0&&dir[p][l]!=1&&nex[l]!=n+1)
f[u][l][(i^m2[nex[l]])^m2[l]]=f[u][l][(i^m2[nex[l]])^m2[l]]+ok;
ok=(f[u][l][i]+ok)%mo;
if(dir[p][l]&&(((i&m2[l])>0)-(dir[p][l]==2)))break;
if(nex[l]==n+1&&(i&m2[l])>0)g[l][i]=ok;
}
}
fo(i,0,n-1)
fo(l,0,zd)if(g[i][l]){
g[i][l]=g[i][l]%mo;
if(dir[p][i+1]!=2)g[i+1][l]=g[i+1][l]+g[i][l];
if(dir[p][i+1]!=1)g[i+1][l^m2[i+1]]=g[i+1][l^m2[i+1]]+g[i][l];
}
fo(i,0,zd)f[v][0][i]=g
[i];
u=v;
}
LL ans=0;
fo(i,0,zd)ans=(ans+f[v][0][i])%mo;
cout<<ans;
}