[ZJOI2007]棋盘制作 解题报告（最大连续同色子矩阵）

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题目描述

国际象棋是世界上最古老的博弈游戏之一，和中国的围棋、象棋以及日本的将棋同享盛名。据说国际象棋起源于易经的思想，棋盘是一个8*8大小的黑白相间的方阵，对应八八六十四卦，黑白对应阴阳。而我们的主人公小Q，正是国际象棋的狂热爱好者。作为一个顶尖高手，他已不满足于普通的棋盘与规则，于是他跟他的好朋友小W决定将棋盘扩大以适应他们的新规则。小Q找到了一张由N*M个正方形的格子组成的矩形纸片，每个格子被涂有黑白两种颜色之一。小Q想在这种纸中裁减一部分作为新棋盘，当然，他希望这个棋盘尽可能的大。不过小Q还没有决定是找一个正方形的棋盘还是一个矩形的棋盘（当然，不管哪种，棋盘必须都黑白相间，即相邻的格子不同色），所以他希望可以找到最大的正方形棋盘面积和最大的矩形棋盘面积，从而决定哪个更好一些。于是小Q找到了即将参加全国信息学竞赛的你，你能帮助他么？

输入输出格式

输入格式：包含两个整数N和M，分别表示矩形纸片的长和宽。接下来的N行包含一个N * M的01矩阵，表示这张矩形纸片的颜色（0表示白色，1表示黑色）。
输出格式：包含两行，每行包含一个整数。第一行为可以找到的最大正方形棋盘的面积，第二行为可以找到的最大矩形棋盘的面积（注意正方形和矩形是可以相交或者包含的）。

输入输出样例

输入样例#1： 

3 3
1 0 1
0 1 0
1 0 0

输出样例#1： 

4
6

说明

对于20%的数据，N, M ≤ 80对于40%的数据，N, M ≤ 400对于100%的数据，N, M ≤ 2000

解题报告

    做这道题我一开始是抱着做DP的心态的，想方设法找状态，写方程，结果最后发现是个奇怪的解法。。。以后不能相信算法标签。
    由题意得，黑白格是要相间的，那么对于每一个满足条件的子矩阵，有以下性质之一：

        1.行列和为奇数为黑，偶数为白。

        2.行列和为奇数为白，偶数为黑。

    这样我们就可以分1,2情况处理，最终统计最优答案就行了。假设以第1种为例，我们把满足条件的点赋值为1，不满足的为0，最后答案就是最大的1矩阵和1正方形，这样问题就转换成了求最大连续同色子矩阵的问题。

    （以下建议画图理解）（以下仍是只讲一种情况，另一种一样）（可能描述不太清楚，最好结合代码看）

    现在我们有的是一个01矩阵，要求其中最大的全是1的连续子矩阵（及正方形）。方法如下：
    我们先预处理出每个点(i,j)向左的连续1的个数F[i][j]，第一层循环按列枚举，第二层循环按行（注意i=1->n+1，后面就知道为什么了），对于每一列，我们维护一个递减单调栈，存放F[i][j]（即最大列长）以及对应的最大行数（S[]存F[i][j]，W[]存对应的最大行数的最上面一行的行数（最大行数是从第W[]行到第i-1行）），这个栈是对于S[]单调的，而不是W[]。我们在第二层循环里定义一个变量MinW，初始化为i，用来更新W[]。那该怎么样维护和更新答案呢？方法如下：
    当每次F[i][j]<=S[Top]时，将栈顶元素出栈，出栈前更新答案，矩形的就用S[Top]*(i-W[Top])更新，正方形的用sqr(min(S[Top],i-W[Top]))更新。然后将MinW赋值为W[Top]，更新的理由是刚刚出栈的S[Top]>=F[i][j]，那么从相应的W[Top]到i（这里是i，上一段加粗的是i-1，因为上面的是以后更新时的，现在的是现在更新时的）行的1的列宽肯定>=F[i][j]。栈顶出完以后，就将本行的加入栈（S[++Top]=F[i][j];W[Top]=MinW;）。给个比较便于理解的图：

                                                          


    蓝色表示1，黄色表示0。

源代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m,n,i,j,F[2018][2018],Map[2018][2018],Ans1,Ans2,S[2018],W[2018],Top;
inline int Sqr(int x){
return x*x;
}
inline void Build(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;++i)
for(j=1;j<=m;++j){
int x;
scanf("%d",&x);
if(((i&1)==(j&1)&&x)||((i&1)!=(j&1)&&(!x)))
Map[i][j]=1;
else
Map[i][j]=0;
}
for(i=1;i<=n;++i)
for(j=1;j<=m;++j)
if(Map[i][j])
F[i][j]=F[i][j-1]+1;
else
F[i][j]=0;
}
inline void ReBuild(){					                //直接把之前的取反
for(i=1;i<=n;++i)
for(j=1;j<=m;++j)
Map[i][j]=!Map[i][j];		                //不能按位取反
for(i=1;i<=n;++i)
for(j=1;j<=m;++j)
if(Map[i][j])
F[i][j]=F[i][j-1]+1;
else
F[i][j]=0;
}
inline void Work(){
for(j=1;j<=m;++j){
Top=0;
for(i=1;i<=n+1;++i){			                //这里注意是n+1
int MinW=i;					//不能用的行初始为i
while(Top&&S[Top]>=F[i][j]){                    //维护单调栈
Ans1=max(Ans1,S[Top]*(i-W[Top]));
Ans2=max(Ans2,Sqr(min(S[Top],i-W[Top])));
MinW=W[Top];
--Top;
}
S[++Top]=F[i][j];
W[Top]=MinW;
}
}
}
int main(){
Build();
Work();
ReBuild();
Work();
printf("%d\n%d\n",Ans2,Ans1);
return 0;
}