扩展欧几里得定理

朴素欧几里得定理

代码：

int gcd(int a,int b){//a>=b
if(b==0)return a;
return gcd(b,a%b);
}

不定方程

==在已知整数a,b的情况下求

a*x+b*y=gcd(a,b)

的一组整数解x,y==

这样的方程一定有解

x1=y2,y1=x2-a/b*y2;

证明略（核心就是把a%b换成a-k*b，然后展开、移项）

代码：

int gcd(int a,int b,int &x1,int &y1){
if(b==0){x1=1,y1=0;return a;}
int x2,y2,d;
d=gcd(b,a%b,x2,y2);
x1=y2,y1=x2-a/b*y2;
return d;
}

==在已知整数a,b的情况下求

a*x+b*y=c

的一组整数解x,y==

无解判定

如果

c%gcd(a,b)!=0

，则原方程无解，反则有解

通解

设x’,y’为

a*x+b*y==gcd(a,b)

的一组解，x,y为

a*x+b*y==c(c%gcd(a,b)==0)

的解。令

d=gcd(a,b)

，那么有：

x=x'*c/d+k*b/d

,

y=y'*c/d+k*a/d

解模线性方程

==

a*x≡b(mod n)

==

即

a mod n==b mod n

因为

(a-b)%n==0

所以，

a*x-n*y==b

，用扩欧定理解决

求乘法逆元

逆元记为a^(-1),与普通的倒数不同，它是mod n意义下的“倒数”，即

a*a^(-1)==1(mod n)

。

但a的逆元只在

ax-ny==1

有解的时候才存在，即a,n必须互质。在

gcd(a,n)==1

的前提下，

ax≡b(mod n)

有唯一解，即a的逆元a^(-1)。

用途：除法取模

(a/b)%p
==(a*b^(-1))%p
==(a%p)*(b^(-1)%p)%p

代码：

int gcd(int a,int b,int x,int y){
if(b==0){x=1,y=0;return a;}
int xx,yy,d;
d=gcd(b,a%b,xx,yy);
x=yy,y=xx-a/b*yy;
return d;
}
int Inverse(int a,int b){
int x,y;
if(gcd(a,b,x,y)==1)return ((x%b)+b)%b;
return -1;//不存在逆元
}