[AtCoder Grand Contest 019] F: Yes or No (agc019F)

原题链接

https://agc019.contest.atcoder.jp/tasks/agc019_f

Description

有N+M个问题，N个问题的答案是Yes，M个问题的答案是No

现在将这N+M个问题随机排列

你需要按顺序回答，每回答一个问题就会告诉你这道题的正确答案

求最优策略下答对问题的期望数量

答案对998244353取模

n,m<=5e5

Solution

显然，最优策略一定是哪一个多选哪个

假设当前有x个问题是Yes，y个问题是No

不妨用点(x,y)表示

那么原问题就转换到网格图上



如图，N=5,M=4

横坐标看做N，纵坐标看做M

一种题目的排列就对应了从右上角到左下角的一条路径

红线就是y=x的直线

红线下方表示y<xy<x，此时我们回答Yes，红线上方表示y>xy>x，此时回答No

那么只要经过一次蓝色的边都代表答对一次

可以发现无论路径怎么走，经过的蓝边都是max(n,m)次

此时只剩下当y=x时我们怎么选

当y=x时我们会乱选一个，1/2机会对

那么统计y=x上每个点经过它的路径数，乘上1/2

再除以总路径数加上max(n,m)就是答案

Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define mo 998244353
#define LL long long
#define N 1000005
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
LL js
,ny
;
LL ksm(LL k,LL n)
{
LL s=1;
for(;n;k=k*k%mo,n>>=1) if(n&1) s=s*k%mo;
return s;
}
LL C(LL n,LL m)
{
return js
*ny[m]%mo*ny[n-m]%mo;
}
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
if(n<m) swap(n,m);
js[0]=1;
fo(i,1,n*2) js[i]=js[i-1]*(LL)i%mo;
ny[2*n]=ksm(js[2*n],mo-2);
fod(i,2*n-1,0) ny[i]=ny[i+1]*(LL)(i+1)%mo;
LL ans=0;
fo(i,1,m)
{
ans=(ans+C(n+m-i-i,n-i)*C(i+i,i)%mo)%mo;
}
ans=ans*ny[2]%mo*ksm(C(n+m,m),mo-2)%mo;
printf("%lld\n",(ans+n)%mo);
}