最大连续区间和的算法总结

点击打开链接

最大连续区间和是一个经典的问题。给定一个长度为n的序列a[1],a[2]...a[n-1],a
，求一个连续的子序列a[i],a[i+1]...a[j-1],a[j]，使得a[i]+a[i+1]...a[j-1]+a[j]最大。

①最简单最容易想到的就是根据定义来枚举。

//枚举上下界{i,j | 0<=i<=j<=n}，维护一个max值即可。
//其中枚举上下界的时间复杂度为O(n^2)，求区间和的复杂度为O(n)，所以总时间复杂度为O(n^3)。
for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
for ( int j = i ; j <= n ; j++ )
ans = max(ans,accumulate(a+i,a+j+1,0));

②其实就是第一种方法的优化。

//这里有个很容易想到的优化，即预处理出前缀和sum[i]=a[0]+a[1]+...+a[i-1]+a[i]，算区间和的时候即可将求区间和的复杂度降到O(1)，
//枚举上下界的复杂度不变，所以总时间复杂度为O(n^2)。
for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
for ( int j = i ; j <= n ; j++ )
ans = max(ans,sum[j]-sum[i-1]);

③可以利用动态规划的思维来继续优化，得到一个线性的算法，也是最大连续区间和的标准算法

//定义maxn[i]为以i为结尾的最大连续和，则很容易找到递推关系：maxn[i]=max{0,maxn[i-1]}+a[i]。
//所以只需要扫描一遍即可，总时间复杂度为O(n)。
for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
{
last = max(0,last)+a[i];
ans = max(ans,last);
}

④同样用到类似的思维。

首先也需要预处理出前缀和sum[i]，可以推出ans=max{sum[i]-min{sum[j] } | 0<=j<i<=n }。
而最小前缀和可以动态维护，所以总时间复杂度为O(n)。
for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
{
ans = max(ans,sum[i]-minn);
minn = min(minn,sum[i]);
}

当然还有一种方法就是分治法（参考白书上的做法这里给出代码）分三步：

划分：把问题尽量分成相等的两部分递归：递归解决子问题合并：合并子问题的解到原问题最大连续区间和的 “合并”就是求出起点在左边，终点在右边的最大连续和序列，并和子问题进行比较；        1---5 1--3         3--51--2    2--3   3--4   4--5

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100;
//区间设置成 [)
int a[maxn];
int maxsum(int x,int y)
{
if(y-x==1)return a[x];//如果设置成x==y的话，容易出现 4 5，无线死循环

int m=(x+y)>>1;
int Max=max(maxsum(x,m),maxsum(m,y));//m前面不要后面要
int l=a[m-1],v=0;//找起点
for(int i=m-1; i>=x; i--) {
v+=a[i];
if(v>l)l=v;
}
int r=a[m];v=0;//找终点
for(int i=m; i<y; i++) {//i<y
v+=a[i];
if(v>r)r=v;
}
return max(Max,l+r);//比较区间最大值
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1; i<=n; i++) {
scanf("%d",&a[i]);
}
printf("%d\n",maxsum(1,n+1));
return 0;
}