[NOI 2010]能量采集
2018-02-22 08:47
162 查看
Description
题库链接给你一个 \(n\times m\) 的坐标轴。对于坐标轴的每一个正整数整点 \((x,y)\) 其对答案产生的贡献为 \(2k+1\) ,其中 \(k\) 表示这个点与坐标原点连线,线段穿过了除端点外的 \(k\) 个点。求所有点的贡献和。
\(1\leq n,m \leq 100000\)
Solution
容易发现 \(k=gcd(x,y)-1\) ,故原式等于求 \[\begin{aligned}&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(2(gcd(i,j)-1)+1)\\=&2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)-nm\end{aligned}\]记 \(f(n,m)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mgcd(i,j)\) ,考虑如何求 \(f(n,m)\) \[\begin{aligned}\Rightarrow&\sum_{d=1}^{min\{n,m\}}d\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}[gcd(i,j)=1]\\=&\sum_{d=1}^{min\{n,m\}}d\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}\sum_{k\mid gcd(i,j)}\mu(k)\\=&\sum_{d=1}^{min\{n,m\}}d\sum_{k=1}^{min\left\{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor\right\}}\mu(k)\left\lfloor\frac{n}{kd}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{kd}\right\rfloor\end{aligned}\]
令 \(T=kd\) ,枚举 \(T\) \[\begin{aligned}\sum_{T=1}^{min\{n,m\}}\left\lfloor\frac{n}{T}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{T}\right\rfloor\sum_{d\mid T}d\cdot\mu\left(\frac{T}{d}\right)\end{aligned}\]
记后面那个狄利克雷卷积形式的式子为 \(F(T)\) ,显然这个是可以枚举因子在近似于 \(O(n~ln~n)\) 的时限内预处理出来的。然后数论分块的复杂度为 \(O(\sqrt n)\) ,对于 \(t\) 组询问...哦...没有 \(t\) 组询问...那我最后一步还搞个屁啊...
Code
//It is made by Awson on 2018.2.22 #include <bits/stdc++.h> #define LL long long #define dob complex<double> #define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a)) #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b)) #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b)) #define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b)) #define writeln(x) (write(x), putchar('\n')) #define lowbit(x) ((x)&(-(x))) using namespace std; const int N = 100000; void read(int &x) { char ch; bool flag = 0; for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar()); for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar()); x *= 1-2*flag; } void print(LL x) {if (x > 9) print(x/10); putchar(x%10+48); } void write(LL x) {if (x < 0) putchar('-'); print(Abs(x)); } int n, m, mu[N+5]; LL F[N+5]; void get_F() { int isprime[N+5], prime[N+5], tot = 0; memset(isprime, 1, sizeof(isprime)); isprime[1] = 0, mu[1] = 1; for (int i = 2; i <= N; i++) { if (isprime[i]) mu[i] = -1, prime[++tot] = i; for (int j = 1; j <= tot && i*prime[j] <= N; j++) if (i%prime[j] != 0) isprime[i*prime[j]] = 0, mu[i*prime[j]] = -mu[i]; else {isprime[i*prime[j]] = 0, mu[i*prime[j]] = 0; break; } } for (int i = 1; i <= N; i++) for (int j = 1; j*i <= N; j++) F[i*j] += i*mu[j]; for (int i = 1; i <= N; i++) F[i] += F[i-1]; } LL cal(int n, int m) { if (n > m) Swap(n, m); LL ans = 0; for (int i = 1, last; i <= n; i = last+1) { last = Min(n/(n/i), m/(m/i)); ans += 1ll*(n/i)*(m/i)*(F[last]-F[i-1]); } return ans; } void work() { read(n), read(m); get_F(); writeln(2ll*cal(n, m)-1ll*n*m); } int main() { work(); return 0; }
相关文章推荐
- 【莫比乌斯反演】BZOJ2005 [NOI2010]能量采集
- [bzoj2005][莫比乌斯反演][Noi2010]能量采集
- 【NOI 2010】能量采集&&超级钢琴
- 【bzoj2005】[Noi2010]能量采集
- 【数论】【莫比乌斯反演】【线性筛】bzoj2005 [Noi2010]能量采集
- BZOJ 2005: [Noi2010]能量采集
- [bzoj2005][Noi2010][能量采集] (容斥 or 欧拉函数)
- [BZOJ2005][Noi2010]能量采集 容斥+数论
- 洛谷P1447 - [NOI2010]能量采集
- BZOJ[Noi2010]能量采集
- bzoj2005[Noi2010]能量采集
- BZOJ2005 [Noi2010]能量采集
- BZOJ 2005 [Noi2010]能量采集
- BZOJ2005: [Noi2010]能量采集
- bzoj 2005: [Noi2010]能量采集
- bzoj 2005: [Noi2010]能量采集
- 能量采集 [Bzoj 2005,Noi2010]
- 2005: [Noi2010]能量采集
- 【BZOJ 2005】[Noi2010]能量采集 (容斥原理| 欧拉筛+ 分块)
- [bzoj2005][luogu1447][noi2010]能量采集