坐标型动态规划

坐标型动态规划：
state: f[x]表示从起点到坐标x；
          f[x, y]表示从起点走到坐标x, y;
function: 研究走到x, y之前的一步

（一）Triangle https://leetcode.com/problems/triangle/description/
题目：给出一个三角形，返回从顶到底和最小的路径和，只能移动到下一行的相邻位置。如：
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]应该返回11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11)；

解答：将三角形的位置看做坐标，则从 (i, j) 位置可以移动到 (i + 1, j) 和 (i + 1, j + 1)，取可移动的两个点的较小值，最终即可获得最小值；
方法一：自底向上（依次存储当前最小的路径和，最终返回 (0, 0)即可；min[j][j] 代表从i, j出发走到最后一层的最小路径长度）
代码：
class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int res = 0;
        int row = triangle.size(), column = triangle.size();
        int min[][] = new int[row][column];
        
        for (int i = 0; i < column; i++) {
            min[row - 1][i] = triangle.get(row - 1).get(i);
        }
        
        for (int i = row - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                min[i][j] = Math.min(min[i + 1][j], min[i + 1][j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return min[0][0];
    }
}

方法二：自顶向下 

（i，j）点的值取决于其相邻的上一行点的最小值：
对于最左边的点（i，0）其上一行相邻点仅有（i - 1，0）；
对于最右边的点（i，i）其上一行相邻点仅有（i - 1， i - 1）；
对于其余点（i，j），其上一行相邻点有（i - 1，j）和（i - 1，j - 1）两种情况。
因此，需要初始化三角形左右两边的数。

代码：
class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int res = Integer.MAX_VALUE;
        int n = triangle.size();
        int min[][] = new int

;
        min[0][0] = triangle.get(0).get(0);
        
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            min[i][0] = triangle.get(i).get(0) + min[i - 1][0];
            min[i][i] = triangle.get(i).get(i) + min[i - 1][i - 1];
        }
        
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                min[i][j] = Math.min(min[i - 1][j], min[i - 1][j - 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            res = Math.min(res, min[n - 1][i]);
        }
        return res;
    }
}

（二）