蓝桥杯 算法提高 递推求值 【矩阵快速幂】

算法提高 递推求值

时间限制：1.0s 内存限制：256.0MB

问题描述

　　已知递推公式：

　　F(n, 1)=F(n-1, 2) + 2F(n-3, 1) + 5,

　　F(n, 2)=F(n-1, 1) + 3F(n-3, 1) + 2F(n-3, 2) + 3.

　　初始值为：F(1, 1)=2, F(1, 2)=3, F(2, 1)=1, F(2, 2)=4, F(3, 1)=6, F(3, 2)=5。

　　输入n，输出F(n, 1)和F(n, 2)，由于答案可能很大，你只需要输出答案除以99999999的余数。

输入格式

　　输入第一行包含一个整数n。

输出格式

　　输出两行，第一行为F(n, 1)除以99999999的余数，第二行为F(n, 2)除以99999999的余数。

样例输入

4

样例输出

14

21

数据规模和约定

　　1<=n<=10^18。

题意： 略

分析： 这是矩阵快速幂的裸题，写下矩阵的值即可

【f[n - 1,1], f[n - 1,2], f[n-2,1], f[n-2,2], f[n - 3,1], f[n - 3,2],1】 乘上 矩阵得到

【f[n,1], f[n,2], f[n-1,1], f[n-1,2], f[n - 2,1], f[n - 2,2],1】

这个在构造矩阵上，每个人都有每个人的习惯，自己模拟下就好

参考代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
#define mod(x) (x) % MOD
const ll MOD = 99999999;

struct mat {
ll m[10][10];
}a,unit,res;

void init() {
res.m[1][1] = 6;
res.m[1][2] = 5;
res.m[1][3] = 1;
res.m[1][4] = 4;
res.m[1][5] = 2;
res.m[1][6] = 3;
res.m[1][7] = 1;
a.m[2][1] = 1;  a.m[5][1] = 2;  a.m[7][1] = 5;
a.m[1][2] = 1;  a.m[6][2] = 2;  a.m[7][2] = 3;
a.m[1][3] = 1;  a.m[2][4] = 1;  a.m[3][5] = 1;
a.m[4][6] = 1;  a.m[7][7] = 1;  a.m[5][2] = 3;
}

mat operator * (mat m1,mat m2) {
mat t;
for (int i = 1; i <= 7; i++) {
for (int j = 1; j <= 7; j++) {
ll l = 0;
for (int k = 1; k <= 7; k++) {
l = mod(l + m1.m[i][k] * m2.m[k][j]);
}
t.m[i][j] = l;
}
}
return t;
}

void quick_pow(ll n) {
while (n) {
if(n & 1) {
res = res * a;
}
a = a * a;
n >>= 1;
}
}

int main() {
ll n;cin>>n;
if(n == 1) {
cout<<2<<endl<<3<<endl;
} else if(n == 2) {
cout<<1<<endl<<4<<endl;
} else if(n == 3) {
cout<<6<<endl<<5<<endl;
} else {
init();
quick_pow(n - 3);
cout<<res.m[1][1]<<endl<<res.m[1][2]<<endl;
}
return 0;
}

如有错误或遗漏，请私聊下UP，thx