[BZOJ4013][HNOI2015]实验比较（树形DP+组合数学）

先用并查集将所有用等号连接的点缩成一个。然后看到题目中有一个很重要的条件：

对每张图片ii，小D都最多只记住了某一张质量不比ii差的另一张图片KiKi。

缩点后建树，对于每个ii，如果KiKi存在，就将KiKi作为ii的父节点。建树后有可能是一棵森林，所以新建一个新的节点n+1n+1连接森林里每棵树的根节点，形成一棵树，n+1n+1为根。

然后树形DP，f[u]f[u]表示uu的子树内的方案数。

但对于uu的两个不同子节点vv和ww，vv和ww的子树内可能存在两个点质量相等，所以还需要加一维：

f[u][i]f[u][i]表示uu的子树里，分成ii段（也就是共有i−1i−1个小于号把质量序列分成了ii个部分，每个部分里的图片质量相等）的方案数，然后做一次树形背包DP（当前枚举到了uu的子节点vv，f′f′表示枚举到子节点vv之前的DP值）：

f[u][i]=∑j,kf′[u][j]×f[v][k]×ORZf[u][i]=∑j,kf′[u][j]×f[v][k]×ORZ

ORZORZ表示jj段和kk段合并成ii段的方案数。

如何求ORZORZ呢？

设f[u]f[u]的质量序列为AA，f′[u]f′[u]的质量序列为BB，f[v]f[v]的质量序列为CC。

AA中的每一段可以只包含BB中的一段，可以只包含CC中的一段，也可以有BB和CC中各一段合并而成，但不能为空。特殊地，AA的第一段只能包含节点uu。

相当于先枚举BB中的j−1j−1段在AA中放的位置，方案数为Cj−1i−1Ci−1j−1，然后把CC中的i−ji−j段放到AA中剩下的位置，使每一段都不为空。现在CC中还剩下k−i+jk−i+j个段，他们需要与BB中的段合并，方案数Ck−i+jj−1Cj−1k−i+j。

所以：

ORZ=Cj−1i−1×Ck−i+jj−1ORZ=Ci−1j−1×Cj−1k−i+j

最后答案∑if[n+1][i]∑if[n+1][i]。

复杂度：f[u][i]f[u][i]第二维的上界只有uu的子树大小，枚举ii相当于枚举ii的子树内的点。所以看上去是O(n4)O(n4)的，实际上每对点都只在lca处被计算贡献了O(n)O(n)次，复杂度O(n3)O(n3)。

代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read() {
int res = 0; bool bo = 0; char c;
while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
return bo ? ~res + 1 : res;
}
inline char get() {
char c; while ((c = getchar()) != '<' && c != '='); return c;
}
const int N = 135, M = 265, ZZQ = 1e9 + 7;
int n, m, X
, Y
, fa
, ecnt, nxt[M], adj
, go[M], in
, cnt
,
f

, sze
, C

, g
;
bool eq
, its
;
void init() {
int i, j; for (i = 0; i <= 120; i++) C[i][0] = 1;
for (i = 1; i <= 120; i++) for (j = 1; j <= i; j++)
C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % ZZQ;
}
void add_edge(int u, int v) {
nxt[++ecnt] = adj[u]; adj[u] = ecnt; go[ecnt] = v;
nxt[++ecnt] = adj[v]; adj[v] = ecnt; go[ecnt] = u;
}
int cx(int x) {
if (fa[x] != x) fa[x] = cx(fa[x]);
return fa[x];
}
bool zm(int x, int y) {
int ix = cx(x), iy = cx(y);
if (ix != iy) fa[iy] = ix;
else return 1;
return 0;
}
void dfs(int u, int fu) {
int i, j, k; sze[u] = f[u][1] = 1;
for (int e = adj[u], v; e; e = nxt[e]) {
if ((v = go[e]) == fu) continue; dfs(v, u);
for (i = 1; i <= n; i++) g[i] = 0;
for (i = 1; i <= sze[u] + sze[v]; i++) for (j = 1; j <= sze[u]; j++)
for (k = 1; k <= sze[v]; k++) {
int x = k - i + j; if (x < 0) continue;
(g[i] += 1ll * f[u][j] * f[v][k] % ZZQ *
C[i - 1][j - 1] % ZZQ * C[j - 1][x] % ZZQ) %= ZZQ;
}
for (i = 1; i <= sze[u] + sze[v]; i++) f[u][i] = g[i];
sze[u] += sze[v];
}
}
int main() {
int i; n = read(); m = read(); init();
for (i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
for (i = 1; i <= m; i++) X[i] = read(),
eq[i] = get() == '=', Y[i] = read();
for (i = 1; i <= m; i++) if (eq[i]) zm(X[i], Y[i]);
for (i = 1; i <= n; i++) its[in[i] = cx(i)] = 1;
for (i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
for (i = 1; i <= m; i++)
if (!eq[i]) {
add_edge(in[X[i]], in[Y[i]]); cnt[in[Y[i]]]++;
if (zm(in[X[i]], in[Y[i]])) return printf("0\n"), 0;
}
for (i = 1; i <= n; i++) if (its[i] && !cnt[i]) add_edge(n + 1, i);
int ans = 0; dfs(n + 1, 0); for (i = 1; i <= sze[n + 1]; i++)
ans = (ans + f[n + 1][i]) % ZZQ; cout << ans << endl;
return 0;
}