[BZOJ2227][Zjoi2011]看电影(movie)（组合数学+高精）

如果K<NK<N，则所有方案都是不行的，输出0101。

总方案数显然为KNKN。怎样构造一个合法方案呢？

考虑将第KK个座位和第11个座位连接起来，形成一个环，越过第KK个座位的人就回到第11个座位。那么合法方案就是不越过第KK个座位的方案数。

如何求不越过分界点的方案数呢？

再加一个座位，共K+1K+1个座位，同样把第KK个座位和第11个座位连接起来，形成一个环。这样分配的方案数是(K+1)N(K+1)N。由于是环，所以去除重复的方案，为(K+1)N−1(K+1)N−1。

可以看出，空的座位一定没有人越过。所以选一个空座位断开，形成一个序列，就构造成了一个合法方案。

一共有K+1−NK+1−N个空位，所以答案为：

(K+1)N−1(K+1−N)KN(K+1)N−1(K+1−N)KN

由于需要用到高精，要求最简分数，分子又是幂的形式，所以可以将K+1K+1，K+1−NK+1−N和KK分别分解质因数，这样就能较为方便地进行约分。

代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read() {
int res = 0; bool bo = 0; char c;
while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
return bo ? ~res + 1 : res;
}
typedef long long ll;
const int N = 205, M = 6005, MX = 1e6;
int n, K, cnt1
, cnt2
;
struct cyx {
int n; ll a[M];
cyx() {}
cyx(int _n, int val) :
n(_n) {memset(a, 0, sizeof(a)); a[1] = val;}
friend inline cyx operator * (cyx a, cyx b) {
int i, j; cyx res = cyx(a.n + b.n + 2, 0);
for (i = 1; i <= a.n; i++) for (j = 1; j <= b.n; j++)
res.a[i + j - 1] += a.a[i] * b.a[j];
for (i = 1; i < res.n; i++)
res.a[i + 1] += res.a[i] / MX, res.a[i] %= MX;
while (res.n > 1 && !res.a[res.n]) res.n--; return res;
}
friend inline cyx operator ^ (cyx a, int b) {
cyx res = cyx(1, 1);
while (b) {
if (b & 1) res = res * a;
a = a * a;
b >>= 1;
}
return res;
}
};
void pri(int a, int b, bool op) {
int i, S = sqrt(a), tmp = a, *cnt = op ? cnt1 : cnt2;
for (i = 2; i <= S; i++) while (tmp % i == 0) cnt[i] += b, tmp /= i;
if (tmp > 1) cnt[tmp] += b;
}
void work() {
memset(cnt1, 0, sizeof(cnt1)); memset(cnt2, 0, sizeof(cnt2));
int i; n = read(); K = read(); if (n > K) return (void) puts("0 1");
pri(K + 1, n - 1, 1); pri(K - n + 1, 1, 1); pri(K, n, 0);
for (i = 1; i <= 200; i++) {
int tmp = min(cnt1[i], cnt2[i]); cnt1[i] -= tmp; cnt2[i] -= tmp;
}
cyx r1 = cyx(1, 1), r2 = cyx(1, 1);
for (i = 1; i <= 200; i++) r1 = r1 * (cyx(1, i) ^ cnt1[i]);
for (i = 1; i <= 200; i++) r2 = r2 * (cyx(1, i) ^ cnt2[i]);
printf("%d", r1.a[r1.n]); for (i = r1.n - 1; i; i--)
printf("%06d", r1.a[i]);
printf(" %d", r2.a[r2.n]); for (i = r2.n - 1; i; i--)
printf("%06d", r2.a[i]); printf("\n");
}
int main() {
int i, j, T = read();
while (T--) work();
return 0;
}