欧拉 phi 函数的积性证明

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于 n 的数中与 n 互素的数的数目。若 m,n互素，那么


证明：构造如图所示的矩阵，恰好包含 mn 个数。



则 phi(mn)是上述数字矩阵中与 mn 互素的数的个数，也就是与 m、n 同时互素的数的个数（由于m与n互素）。由于 GCD(km+r,m)=GCD(r, m)，所以每一列的 n 个元素同时与 m 互素当且仅当 GCD(r,m)=1，因此与 m互素的列共有phi(m)列 假定第 r 列元素满足GCD(r,m)=1. 则该列的所有元素为


 而这些元素恰好构成模 n完全剩余系，所以其中恰有 phi(n)  个与 n 互素的数 综上：上述数字矩阵中与 m 互素的列共有 phi(m) 列，每个这样的列当中恰有 phi(n)  个与 n互素的数，所以总共与 mn 互素的数的个数为 phi(m) phi(n)故