分治法实例：斐波那契数列

我们都十分熟悉斐波那契数列的定义：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F0 = 0、F1 = 1。
那么我们如何求解斐波那契数列的某个特定项呢？
方法一：递归求解。
这种方法看似简单，可是实际上我们会重复计算许多已经计算过的项，最后递归树竟然是一棵完全二叉树，时间复杂度达到了Θ(φ^n)，其中φ = (sqrt(5)+1)/2。我们不再讨论此方案。
方法二：递推求解。
即利用Fn的定义式，以线性的复杂度O(n)完成方案。
方案三：利用Fn = round(φ^n+Φ^n)，其中φ和Φ为x²+x+1=0的两个根。令人兴奋，得到了O(1)！
但是，这种方法却不能实际被应用，原因是计算机只能存储有限位数的小数，由于φ和Φ是无理数，在n较大的情况下，计算机无法保证一定的精度从而造成误差。
前面的方案要么就是效率过低，要么就是不切实际，那么有没有一种好的方法呢？答案是肯定的。
方案四：（分治）矩阵乘法
原理：由线代知识不难证明：2x2的矩阵 {1,1,1,0} ^ n = {Fn+1,Fn,Fn,Fn-1}；因此，模仿"快速幂"算法，我们很容易得出以下代码。#include <iostream>
using namespace std;

//二阶矩阵乘法
void matrixPow(int a[2][2], int b[2][2])
{
int temp[2][2];
for(int i=0; i<2; ++i)
{
for(int j=0; j<2; ++j)
{
temp[i][j] = 0;
for(int k=0; k<2; ++k)
temp[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
}
}

// memcpy(a, temp, sizeof a); //这里被坑惨了，sizeof a是一个指针的大小！！！
memcpy(a, temp, sizeof temp);
}

//矩阵快速幂
int qPow(int base[2][2], int n)
{
int res[2][2] = {1,0,0,1}; //单位矩阵

while(n)
{
if(n & 1) matrixPow(res, base);
matrixPow(base, base);

n >>= 1;
}

return res[0][1];
}

int main()
{
int n, matrix[2][2] = {1,1,1,0}; //原矩阵
cin>>n;

cout<<qPow(matrix, n);
return 0;
}