动态规划解题的一般思路

递归到动规的一般转化方法

递归函数有n个参数，就定义一个n维的数组，数组的下表是递归函数参数的取值范围，数组元素的值是递归函数的返回值，这样就可以从边界值开始，逐步填充数组，相当于计算递归函数值的逆过程

动规解题的一般思路

1.将原问题分解为子问题

把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同或类似，只不过规模变小了。子问题都解决，原问题即解决（数字三角形为例）。
子问题的解一旦求出就会被保存，所以每个子问题只需求解一次。

2.确定状态

在用动态规划解题时，我们往往将和子问题相关的哥哥变量的一组取值，称之为一个“状态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题，所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状态”所对应子问题的解。
所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。在数字三角形的例子里，一共有N*(N+1)个状态。
整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需要的时间。
用动态规划解题，经常碰到的情况是，k个整型变量能构成一个状态（如数字三角形中的行号和列号这两个变量构成“状态”）如果这K个整型变量的取值范围分别是N1,N2,...Nk，那么，我们就可以用一个k维的数组array[N1][N2]...[Nk]来储存各个状态的“值”。这个“值”未必就是一个整数或浮点数，可能是需要一个结构才能表示的，那么arrry就可以是一个结构数组。一个“状态”下的“值”通常会是一个或多个子问题的解。

3.确定一些初始状态（边界状态）的值

以数字三角形为例，初始状态就是底边数字，值就是底边数字值。

4. 确定状态转移方程

定义出什么是“状态”，以及在该“状态”下的“值”后，就要找出不同的状态之间如何迁移——即如何从一个或多个“值”已知的“状态”，求出另一个“状态”的“值”（“人人为我”递推型）。状态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方程”。

能用动规解决的问题的特点

1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，那么我就称该问题具有最优子结构性质。

2）无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的若干个状态，没有关系

中国大学mooc 程序设计与算法（二） 北京大学 郭炜