常州大学新生寒假训练会试 G 零下e度 【错排公式 + n!/e】

题目描述

在家好冷!

又多冷呢？

大概是零下e度!

为什么是零下e度呢?

不知道，因为我编不下去了。

求给定一个数n，求出最接近n!/e的整数

输入描述:

一行一个整数n

1<=n<=10^8

输出描述:

一行一个整数，即题目描述中所求，由于这个数字可能很大，我们只需要知道mod 998244353后的结果（出题人负责任地告诉你，这个数字是个质数）

示例1

输入

6

输出

265

示例2

输入

87

输出

158005593

示例3

输入

16777216

输出

16065816

题意： 略

分析： 通过这个题学到的东西不少，首先是普通的递推，

D(n) = (n - 1)*(D(n - 1) + D(n - 2));

，由于容斥的推导公式如下：

正整数1, 2, 3, ……, n的全排列有 n! 种，其中第k位是k的排列有 (n-1)! 种；当k分别取1, 2, 3, ……, n时，共有n*(n-1)!种排列是至少放对了一个的，由于所求的是错排的种数，所以应当减去这些排列；但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上；在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为

D(n)=n!−n!/1!+n!/2!−n!/3!+…+(−1）n∗n!/n!=∑(k=2 n)(−1)k∗n!/k!,D(n)=n!−n!/1!+n!/2!−n!/3!+…+(−1）n∗n!/n!=∑(k=2 n)(−1)k∗n!/k!,

即D(n)=n![1/0!−1/1!+1/2!−1/3!+1/4!+...+(−1)n/n!].D(n)=n![1/0!−1/1!+1/2!−1/3!+1/4!+...+(−1)n/n!].由此可知

n!/e

就是

D(n)

，由于n的范围为 1e8，我们用三个变量模拟即可，当然也可以用矩阵快速幂快点，我就简单用了变量模拟了下

参考代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MOD = 998244353;

int main() {
int n;
scanf("%d",&n);
if(n == 1) {
puts("0");
} else if(n == 2) {
puts("1");
} else {
ll a = 0,b = 1,c;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
c = ((i - 1) * 1ll * (a + b)) % MOD;
a = b;
b = c;
}
printf("%lld\n",c);
}

return 0;
}

如有错误或遗漏，请私聊下UP，thx