[luogu1516]青蛙的约会(数论,扩欧)
2018-02-13 23:25
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题目
描述
两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
输入
输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L其中0<x≠y<=2000000000,0<m、n<=2000000000,0<L<=2100000000。
输出
输出碰面所需要的天数,如果永远不可能碰面则输出一行”Impossible”。输入样例
1 2 3 4 5
输出样例
4
解题思路
Hmm…环形的追及问题……设跳跃次数为 t (t∈Z),那么(x+mt)−(y+nt)=rL,其中r∈Z
转化一下得:(n−m)t+Lr=x−y,如果我们把 t,r看作未知数的话,这就是一个不定方程,用扩展欧几里得求解即可。
设解出来的一个特解为t0,那么通解为 t=t0+k×L/gcd(L,n−m),k∈Z,设d=L/gcd(L,n−m),那么最小正整数解为(t0 % (L/d)+(L/d)) % (L/d)
Code
#include<cstdio> using namespace std; typedef long long LL; LL X, Y, M, N, L; LL x, y; LL exGcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){ if(b == 0){ x = 1, y = 0; return a; } LL d = exGcd(b, a % b, x, y); LL t = x; x = y; y = t - (a / b) * y; return d; } int main(){ scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &X, &Y, &M, &N, &L); if(N < M) N ^= M, M ^= N, N ^= M, X ^= Y, Y ^= X, X ^= Y; LL d = exGcd(N-M, L, x, y); if((X-Y) % d) return puts("Impossible"), 0; printf("%lld", ((X - Y) / d * x % (L/d) + (L/d)) % (L/d)); return 0; }
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