树 赫夫曼树的定义及建立 、赫夫曼编码的定义

以下有叶子结点带权的二叉树：



路径：从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成两个结点之间的路径
路径长度：路径上的分支数目
树的路径长度：根结点到每一个结点的路径长度和
在上图树的路径长度就为：1+1+2+2+3+3+4+4=20
带权路径长度WPL：从该结点到根结点之间的路径长度与结点上权的乘积
上图树的WPL：5*1+15*2+40*3+30*4+10*4=315
带权路径长度最小的二叉树称为赫夫曼树，也叫最优二叉树

最优二叉树有什么意义呢：




该图的叶子结点权值和上上图中一样，不过该图经过变换过
WPL=5*3+15*3+40*2+30*2+10*2=220
WPL的值相比于一个棵树要小很多，这意味着用这棵树解决实际问题效率大大提高
但该图不是最优二叉树，要找最优，还需要进行构造：

赫夫曼树的构造

1.先把有权值的叶子结点按照从小到大的顺序排列为一个有序序列，即：A5,E10,B15,D30,C40
2.取头两个最小权值的结点作为一个新结点N1的两个子结点，注意相对较小的是左孩子，如图。新结点的权值为两个叶子权值之和5+10=15
3.将N1替换A与E放入序列，保持从小到大顺序：N1 15，B15，D30，C40
4.重复步骤2，将N1与B作为一个新结点N2的两个子结点，然后重复......
5.到C结点时，将C与N3作为一个新结点T的两个子结点，T是根结点，此时完成构造

赫夫曼编码

现在有一段文字：”BADCADFEED“需要传输，只有六个字母：ABCDEF，我们会想到用相应的二进制数据表示：

所以需要传输”001000011010000011101100100011“ ，这样的编码十分冗长，所以我们需要想办法改进。
假设六个字母的频率：A 27,B 8,C 15,D 15, E 30, F 5 加起来是100%，这就意味着我们可以用赫夫曼树来构造它们。



左图是构造赫夫曼树的过程中的权值显示。右图将权值左支改为0，右支改成1。
此时我们就可以对六个字母用从根到叶子所经过的路径的0或1来进行编码，



此时我们的编码变为：”1001010010101001000111100“比原来的编码短了很多，相当于对数据的一种压缩，且随着字符的增多和字符权重不同，这种压缩编码会更加有优势
观察上表，这种新的编码的任一字符的编码都不是另一个字符的编码的前缀，这种编码叫做前缀编码
总结：
赫夫曼树的左支为0，右支为1，从根节点到叶子结点所经过的路径分支组成的0和1序列为该结点对应字符的编码，这就是赫夫曼编码

下面有一个题来初步运用赫夫曼树知识：
假设某段通信电文仅由 6 个字母 ABCDEF 组成，字母在电文中出现的频率分别为2，3，7，15，4，6。根据这些频率作为权值构造哈夫曼编码，最终构造出的哈夫曼树带权路径长度与字母 B 的哈夫曼编码分别为______。(这里假定左节点的值小于右节点的值)