bzoj5153 [Wc2018]州区划分

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正解：子集和变换。

考场上只会暴力和$p=0$的情况，还只会$O(2^{n}*n^{3})$的。

然而这题题面出锅，导致考场上一直在卡裸暴力，后面的部分分没写了。。听$laofu$说$O(2^{n}*n^{3})$可以过。。

所以直接讲正解。。

我们假设每个城市可以在两个不同集合，那么可以把子集卷积变成或卷积。

我们只要记下当前总共有多少个点，于是考虑设$f[i][S]$表示$i$个点，集合为$S$的方案数。

最后的$f
[all]$就是答案，显然这个状态中的每个城市只会出现一次。

那么$f[i][S]=\sum f[j][T]*(\frac{sum[A]}{sum[S]})^{p}$，其中$A|T=S$，且$A$是一个合法集合。

可以把分母移项到左边，然后我们可以设$g[i][S]$表示如果$S$是一个合法集合，且$S$的位数为$i$，那么$g[i][S]=sum[S]^{p}$，否则为$0$。

那么$f[i][S]*sum[S]^{p}=\sum f[j][T]*g[i-j][A]$。注意到这个式子可以直接$FMT$以后点乘，再$IFMT$回来以后作除法得到，总复杂度为$O(2^{n}*n^{2})$。

感觉这道题其实并没有那么难，但是考场上被题面以及固定的套路给局限住了，所以并没有想到可以交换$dp$的两维状态从而优化复杂度。

#include <bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define rhl (998244353)
#define N (1<<21|1)

using namespace std;

int fa[25],g[25],w
,cnt
,can
,inv[10005],n,m,p,all;
int f[22]
,h[22]
;

il int gi(){
RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return q*x;
}

il int qpow(RG int a,RG int b){
if (!b) return 1;
if (b==1) return a;
return 1LL*a*a%rhl;
}

il void fmt(int *a){
for (RG int i=1;i<all;i<<=1)
for (RG int j=0;j<all;++j){
if (j&i) a[j]+=a[j^i];
if (a[j]>=rhl) a[j]-=rhl;
}
return;
}

il void ifmt(int *a){
for (RG int i=1;i<all;i<<=1)
for (RG int j=0;j<all;++j){
if (j&i) a[j]-=a[j^i];
if (a[j]<0) a[j]+=rhl;
}
return;
}

il int find(RG int x){
return fa[x]==x ? x : fa[x]=find(fa[x]);
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("walk.in","r",stdin);
freopen("walk.out","w",stdout);
#endif
n=gi(),m=gi(),p=gi(),all=1<<n,inv[1]=1;
for (RG int i=1,u,v;i<=m;++i)
u=gi()-1,v=gi()-1,g[u]|=1<<v,g[v]|=1<<u;
for (RG int i=2;i<=3000;++i)
inv[i]=1LL*(rhl-rhl/i)*inv[rhl%i]%rhl;
for (RG int i=0;i<n;++i) w[1<<i]=gi(); fmt(w);
for (RG int i=1;i<all;++i) cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
for (RG int i=1,fg,lst;i<all;++i){
fg=0,lst=-1;
for (RG int j=0;j<n;++j) fa[j]=j;
for (RG int j=0;j<n;++j){
if (!(i>>j&1)) continue;
for (RG int k=0,x,y;k<n;++k){
if (!(i>>k&1) || !(g[j]>>k&1)) continue;
x=find(j),y=find(k); if (x!=y) fa[x]=y;
}
}
for (RG int j=0;j<n;++j){
if (i>>j&1){
if (lst==-1) lst=find(j);
else if (lst!=find(j)){ fg=1; break; }
}
if ((i>>j&1) && (cnt[g[j]&i]&1)){ fg=1; break; }
}
can[i]=fg;
}
for (RG int i=0;i<all;++i) if (can[i]) h[cnt[i]][i]=qpow(w[i],p);
for (RG int i=1;i<=n;++i) fmt(h[i]); f[0][0]=1,fmt(f[0]);
for (RG int i=1;i<=n;++i){
int *F=f[i];
for (RG int j=0;j<i;++j){
int *a=f[j],*b=h[i-j];
for (RG int s=0;s<all;++s)
F[s]=(1LL*a[s]*b[s]+F[s])%rhl;
}
ifmt(F);
for (RG int s=0;s<all;++s)
F[s]=i==cnt[s]?1LL*F[s]*qpow(inv[w[s]],p)%rhl:0;
if (i^n) fmt(F);
}
cout<<f
[all-1]; return 0;
}