[动态规划]NOIP2000 方格取数

题目传送门：

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1004

题目描述

设有N*N的方格图(N<=9)，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放

人数字.

某人从图的左上角的A点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B

点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从A点到B点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入输出格式

输入格式：

输入的第一行为一个整数N（表示N*N的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个

表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。

输出格式：

只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和。

题解：

1.简化问题：

假如这个人只走一趟，那这个问题该怎么做呢？

很明了，这是DP基本模型之一：数塔模型 （典型例题：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1216 USACO数字三角形）

只需要从左上角跑一次数塔DP到右下角就行了。

2.大胆猜测：

既然走一趟可以用数塔DP，那走两趟是不是也可以呢？

先跑一次数塔DP，标记所有用过的点，再跑一次，记录总值。

很可惜，这个算法是错误的（相当于贪心）

反例：

1 9 3
0 0 0
2 8 4

如果手动模拟，那么会发现这个算法得出答案为25.

可显然，所有数都能被取完，总和为27.

3.修正算法

其实，数塔DP的思路没有错。只是DP的方式搞错了 awa

题目指定是让一个人走两趟，我们可以认为它等价于两个人走一趟。

这样的情况下有一个不同的情况是：可能两个人同时走入同一个格子取数，这时肯定不能取两次数。两条路线同时进行的动态规划。



阶段：按所走的步数来分阶段，从左上角走到右下角，共2n-1个步，故共2n-1个阶段。

设第k个阶段的A位于(x1,y1), B位于(x2,y2)

那么根据右图可知，(x1,y1)与(x2,y2)肯定位于相同颜色的一条对角线上。

所以x1+y1=x2+y2;

变形得:y2=x1+y1-x2

这有助于我们减少一重循环。



当前阶段A位于(x1,y1),B位于(x2,y2),那么在上一阶段(上一步)，A和B可能的位置组合为：

(x1,y1-1),(x2,y2-1)

(x1,y1-1),(x2-1,y2)

(x1-1,y1),(x2,y2-1)

(x1-1,y1),(x2-1,y2)

所以，转移方程很容易就出来了

f[(x1,y1),(x2,y2)]= max{

f[(x1,y1-1),(x2,y2-1)]+a[x1][y1]+a[x2][y2]

f[(x1,y1-1),(x2-1,y2)]+a[x1][y1]+a[x2][y2]

f[(x1-1,y1),(x2,y2-1)]+a[x1][y1]+a[x2][y2]

f[(x1-1,y1),(x2-1,y2)]+a[x1][y1]+a[x2][y2]}

但是要注意，当x1=x2,他们在同一个格子，所以要减去一次

最后奉上代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define maxn 15
using namespace std;
int n;
int a[maxn][maxn];
int dp[maxn][maxn][maxn][maxn];
int main()
{
int _a=-1,b=-1,c=-1;
scanf("%d",&n);
scanf("%d%d%d",&_a,&b,&c);
while(!(_a==0&&b==0&&c==0))
{
a[_a][b]=c;
scanf("%d%d%d",&_a,&b,&c);
}
for(int x1=1;x1<=n;x1++)
{
for(int y1=1;y1<=n;y1++)
{
for(int x2=1;x2<=n;x2++)
{
int y2=x1+y1-x2;
if(y2<0) break;
dp[x1][y1][x2][y2]=max(dp[x1][y1][x2][y2],dp[x1-1][y1][x2-1][y2]);
dp[x1][y1][x2][y2]=max(dp[x1][y1][x2][y2],dp[x1][y1-1][x2-1][y2]);
dp[x1][y1][x2][y2]=max(dp[x1][y1][x2][y2],dp[x1-1][y1][x2][y2-1]);
dp[x1][y1][x2][y2]=max(dp[x1][y1][x2][y2],dp[x1][y1-1][x2][y2-1]);
dp[x1][y1][x2][y2]+=a[x1][y1]+a[x2][y2];
if(x1==x2) dp[x1][y1][x2][y2]-=a[x1][y1];
}
}
}
printf("%d",dp

);
}