数学笔记1——导数1(导数的基本概念)
2018-02-10 18:25
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什么是导数
导数是高数中的重要概念,被应用于多种学科。 从物理意义上讲,导数就是求解变化率的问题;从几何意义上讲,导数就是求函数在某一点上的切线的斜率。 我们熟知的速度公式:v = s/t,这求解的是平均速度,实际上往往需要知道瞬时速度:![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/2f235efbeea2c05697b3b2cdcc287865.png)
当t趋近于t0,即t-t0趋近于0时,得到的就是顺时速度。设Δt=t-t0,s是t的函数s=f(t),瞬时速度用数学表示就是:
![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/98ed27f169de7a7e377b1b2cac0632a0.png)
为什么s=f(t)呢?请看下图:
![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/0f2566be94743ed94e23d7f093166185.png)
将横轴作为距离,以时间为单位分隔,在t0时间经过的距离是f(t0)=S0,在t时间经过的距离是f(t)=s 在几何上,如下图所示:
![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/d312ff1bb112e6ea03b423cea3a45cde.png)
直线a与曲线相切于点Q,直线b与曲线相割于点Q和点P。b的斜率,k=(y-y0)/(x-x0),当b以Q为轴心沿着曲线旋转时,铉长|PQ|趋近于0,即x->x0时,极限存在:
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有上述两个问题可以看出,变化率和切线的问题都可以归结为下面的公式:
![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/e62476b03f9e18d8d36172296e21bb89.png)
定义Δx = x-x0, Δy = y - y0 = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) - f(x0),上面的公式可以写成:
![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/996d8ed2fbc158de3f7a8efbcc4a01a2.png)
由此得出导数的概念,设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量Δx(点x0+Δx仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量Δy;如果Δy与Δx之比当Δx->0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,记作f’(x0) :
![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/1301217eb3b278d6d8ea30e6f8a5edca.png)
也记作:
![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/12e80333eecb76fd8d9c4307c0718350.png)
简写为:
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1/x求导
根据导数公式,代入f(x) = 1/x![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/c6aade787c77628fd285d6636204e850.png)
这就OK了,所以说导数很简单,因为它仅有一个公式,但没完,因为上式没有任何意义,仅仅是看起来更复杂了。如果我们直接观察导数公式,对于所有求导,当Δx->0时,分母为0,所以必须将导数进一步简化。
![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/9e2a31c1f087ea12774e0df8486abe30.png)
需要注意的是,求f’(x)的完整说法是求f(x)在定义域某一点的导数,所以x是已知的,求某一点的导数,当然要知道这个点是什么。
求切线所在三角形的面积
如下图所示,直线MN是曲线1/x的切线,切点是(x0,y0),求S△MON![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/c334fb5119b9f08b070497ff229a31e2.png)
S△MON = 1/2(MO * ON),已知条件是切点(x0,y0),需要求解的未知条件是MO和NO。 直线MN的公式是y=kx+b,根据上节的介绍,1/x在(x0,y0)的导数是MN的斜率 -1/x02,代入得: y0=-1/x02 + b => 1/x0 = (-1/x02) x0+ b => b = 2/x0 设N点的坐标是(x,0),代入y=kx+b得: 0=(-1/x02)x+2/x0 => x = 2x0 即OM = 2x0 同理,MO=2y0 S△MON = 1/2(MO * ON) = 1/2(2x02y0) = 1/2(2x0)(2/x0) = 2
幂函数求导
f(x) = Xn的导数:f’(x) = nxn-1 例:(3x6)’ = 3 * 6x6-1 = 18x5 该公式可以扩展到多项式中: (3x3 + 6x10)' = 3 * 3x3-1 + 6 * 10 x10-1 = 9x2 + 60x9sin和cos求导
下面是sinx和cosx的去曲线图:![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/5d0f2679c66d6b03bb559a738f66e07c.png)
sinx
![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/8d2e3fb1f080f6a8eeb2550d80539db0.png)
cosx sin0°= 0,sin90°= sin(π/2) = 1 求导时需要用到几个公式:
![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/344b5cc27e37c9f41b62f5aa8439c364.png)
1、2不解释,3、4后面会给出证明:
(sinx)’
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(cosx)’
![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/d13af88300efd285da2ead6ec2d4a01d.png)
为什么会有公式3、4
![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/741dd321479c3e5de56ebafa2fd20f84.png)
,需要从几何意义上证明。
![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/8b9e154dd728938000e2c1cd2774f2ad.png)
上图是一个单位圆,将Δx用θ替换。由于单位圆r=1,弧长MN=(2πr ) (θ/360) = (2πr)(θ/2π) =θ。 公式3:
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当θ趋近于0时,PN比弧长MN更快地趋近于0,所以公式3成立。 公式4:sinθ=MP/OM=MP. 当θ趋近于0时,MP越来越趋近与MN(趋近但不等于0),所以
![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/02c008427efdc3aff4d019fc5d5badf0.png)
函数可导的条件
如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在其上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢?答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件:函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件(极限存在,它的左右极限存在且相等)推导而来。 可导的函数一定连续;连续的函数不一定可导,不连续的函数一定不可导。 下面是两个不可导的例子:![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/f21e3969a651723f29289a7c63824cb1.png)
f(x)=x1/3 f(x)=x1/3,f’(x)=x-2/3/3在x=0处分母为0,所以在x=0处不可导。实际上该函数在x=0处的切线是y轴,导数趋近于无穷,不符合导数的定义。
![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/e28738bfdfcd2cc0e71850443d7df6f7.png)
f(x)=|x| 几何上,切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确地说,当切线经过曲线上的某点(即切点)时,切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。f(x)=|x|在x=0点时,曲线没有唯一方向,即在x=0点没有切线,所以该函数在x=0点不可导。
总结
导数的物理意义:描述变化率,几何意义:切线的斜率导数公式:
![](https://oscdn.geek-share.com/Uploads/Images/Content/202009/04/a2d45b5e1402015c8221803728bfacb3.png)
基本函数求导公式
1) (C)’ = 02) (1/x)’ = -1/x2
3) (xn)’ = nxn-14) (sinx)’ = cosx5) (cosx)’=-sinx 4.可导的充要条件,它的左右极限存在且相等;可导的函数一定连续;连续的函数不一定可导,不连续的函数一定不可导。
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