bzoj3675: [Apio2014]序列分割【斜率优化dp】

Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

Input

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，…，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3

4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

【样例说明】

在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分：

1．一开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置

将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。

2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数

字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+ 3)=36分。

3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)= 20分。

经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。

【数据规模与评分】

数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

解题思路：

根据乘法分配律，可以发现答案优劣与划分的顺序没有关系。

不妨考虑每次一分为二的区间都是形如(x,n)(x,n)的后缀，那么设f[k][i]f[k][i]表示第kk到切在ii处的最优分数，转移方程即为：

f[k]][i]=max(f[k−1][j]+(sum[i]−sum[j])∗(sum[n]−sum[i]))f[k]][i]=max(f[k−1][j]+(sum[i]−sum[j])∗(sum[n]−sum[i]))(0≤j<i)(0≤j<i)

这个方程是可以斜率优化的，且变量只有f[k−1][j]−(sum[n]−sum[i])∗sum[j]f[k−1][j]−(sum[n]−sum[i])∗sum[j]，正是b=y−kxb=y−kx的形式，且kk随ii单调递减，所以维护一个斜率单调递减的上凸包即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int getint()
{
int i=0,f=1;char c;
for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
if(c=='-')c=getchar(),f=-1;
for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
return i*f;
}

const int N=100005;
int n,m,q
;
ll ans,f
,tmp
,sum
;

ll calc(int i,int j)
{
return tmp[j]+(sum[i]-sum[j])*(sum
-sum[i]);
}

bool check(int i,int j,int k)
{
return (tmp[j]-tmp[i])*(sum[k]-sum[j])<=(tmp[k]-tmp[j])*(sum[j]-sum[i]);
}

int main()
{
n=getint(),m=getint();
for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+getint();
while(m--)
{
for(int i=0;i<=n;i++)tmp[i]=f[i];
int head=1,tail=1;q[1]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
while(head<tail&&calc(i,q[head])<=calc(i,q[head+1]))head++;
f[i]=calc(i,q[head]);
while(head<tail&&check(q[tail-1],q[tail],i))tail--;
q[++tail]=i;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,f[i]);
cout<<ans<<'\n';
return 0;
}