bzoj3675: [Apio2014]序列分割【斜率优化dp】
2018-02-10 17:43
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Description
小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里,小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列,小H需要重复k次以下的步骤:1.小H首先选择一个长度超过1的序列(一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列);
2.选择一个位置,并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。
每次进行上述步骤之后,小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式,使得k轮之后,小H的总得分最大。
Input
输入第一行包含两个整数n,k(k+1≤n)。第二行包含n个非负整数a1,a2,…,an(0≤ai≤10^4),表示一开始小H得到的序列。
Output
输出第一行包含一个整数,为小H可以得到的最大分数。Sample Input
7 34 1 3 4 0 2 3
Sample Output
108
HINT
【样例说明】在样例中,小H可以通过如下3轮操作得到108分:
1.一开始小H有一个序列(4,1,3,4,0,2,3)。小H选择在第1个数之后的位置
将序列分成两部分,并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。
2.这一轮开始时小H有两个序列:(4),(1,3,4,0,2,3)。小H选择在第3个数
字之后的位置将第二个序列分成两部分,并得到(1+3)×(4+0+2+ 3)=36分。
3.这一轮开始时小H有三个序列:(4),(1,3),(4,0,2,3)。小H选择在第5个数字之后的位置将第三个序列分成两部分,并得到(4+0)×(2+3)= 20分。
经过上述三轮操作,小H将会得到四个子序列:(4),(1,3),(4,0),(2,3)并总共得到52+36+20=108分。
【数据规模与评分】
数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1,200)。
解题思路:
根据乘法分配律,可以发现答案优劣与划分的顺序没有关系。不妨考虑每次一分为二的区间都是形如(x,n)(x,n)的后缀,那么设f[k][i]f[k][i]表示第kk到切在ii处的最优分数,转移方程即为:
f[k]][i]=max(f[k−1][j]+(sum[i]−sum[j])∗(sum[n]−sum[i]))f[k]][i]=max(f[k−1][j]+(sum[i]−sum[j])∗(sum[n]−sum[i]))(0≤j<i)(0≤j<i)
这个方程是可以斜率优化的,且变量只有f[k−1][j]−(sum[n]−sum[i])∗sum[j]f[k−1][j]−(sum[n]−sum[i])∗sum[j],正是b=y−kxb=y−kx的形式,且kk随ii单调递减,所以维护一个斜率单调递减的上凸包即可。
#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; int getint() { int i=0,f=1;char c; for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar()); if(c=='-')c=getchar(),f=-1; for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0'; return i*f; } const int N=100005; int n,m,q ; ll ans,f ,tmp ,sum ; ll calc(int i,int j) { return tmp[j]+(sum[i]-sum[j])*(sum -sum[i]); } bool check(int i,int j,int k) { return (tmp[j]-tmp[i])*(sum[k]-sum[j])<=(tmp[k]-tmp[j])*(sum[j]-sum[i]); } int main() { n=getint(),m=getint(); for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+getint(); while(m--) { for(int i=0;i<=n;i++)tmp[i]=f[i]; int head=1,tail=1;q[1]=0; for(int i=1;i<=n;i++) { while(head<tail&&calc(i,q[head])<=calc(i,q[head+1]))head++; f[i]=calc(i,q[head]); while(head<tail&&check(q[tail-1],q[tail],i))tail--; q[++tail]=i; } } for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,f[i]); cout<<ans<<'\n'; return 0; }
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