抽象代数学习笔记（14）商群

上一次提到“商”这个字眼，还是在讲商集的时候。我们将商集看做是以等价关系对集合的一个划分。现在我们更进一步，提出商群的概念。

如果 NN 是不变子群，那么利用 NN 可以导出　GG 上的一个等价关系，　a ba b 当且仅当　a−1b∈Na−1b∈N ，也就是 a,ba,b　同属于　NN 的一个左陪集。

（证明：

首先a−1a∈Na−1a∈N，说明关系满足自反性；其次，因为a−1b∈Na−1b∈N,所以a(a−1b)a−1=ba−1∈N,b(a−1b)b−1=ba−1∈Na(a−1b)a−1=ba−1∈N,b(a−1b)b−1=ba−1∈N，满足对称性；a−1b∈N,b−1c∈Na−1b∈N,b−1c∈N，则a−1bb−1c=ac−1∈Na−1bb−1c=ac−1∈N，满足传递性。

）

因为 NN 是不变子群，它的左陪集就是右陪集,此处简称陪集。对于 NN 确定的等价关系，我们可以得到 GG 的一个商集 G¯G¯,它的每个元素都是 NN 的一个陪集。现在要做的就是将任意群 GG 对于不变子群 NN 的商集定义成群，得到所谓的商群。

定理１　设 NN 是群 GG 的一个不变子群，G/NG/N 代表 GG 对 NN 的所有陪集构成的集合，规定任意 aN,bN∈G/NaN,bN∈G/N ,对应 G/NG/N 的元素 (a∗b)N(a∗b)N, 则得到 G/NG/N 的一个运算，记为 ##，即

aN#bN=(a∗b)NaN#bN=(a∗b)N，进一步 (G/N,#)(G/N,#) 是个群。

要证明定理１，首先要证明 (a∗b)N(a∗b)N 是由 aN,bNaN,bN 唯一确定的，而与陪集代表元的选择无关。

设 a1N=a2N,b1N=b2Na1N=a2N,b1N=b2N，那么，必有 u,v∈Nu,v∈N 使得 a1=a2u,b1=b2va1=a2u,b1=b2v，从而 a1∗b1=a2∗(u∗b2)∗va1∗b1=a2∗(u∗b2)∗v，因为 NN 是 GG 的不变子群，而 u∗b2∈Nb2=b2Nu∗b2∈Nb2=b2N，又必有 w∈Nw∈N，使 u∗b2=b2∗wu∗b2=b2∗w，于是 a1∗b1=a2∗b2∗(w∗v)a1∗b1=a2∗b2∗(w∗v)，其中 w∗v∈Nw∗v∈N，也就是说 (a1∗b1)N=(a2∗b2)N(a1∗b1)N=(a2∗b2)N。

这样就说明了无论代表元如何选取，得到的都是同一个陪集。接下来证明得到的是群即可。

定义１ NN 是群 (G,∗)(G,∗) 的不变子群，在商集 G/NG/N 中规定 aN#bN=(a∗b)N;aN,bN∈G/NaN#bN=(a∗b)N;aN,bN∈G/N，则 (G/N,#)(G/N,#) 构成群，称之为群 (G,∗)(G,∗) 对不变子群 NN 的商群。

这里需要注意两件事：首先，证明运算 ## 的合理性是必要的；其次，商群G/NG/N 的运算 ## 特指定义1中的那种运算。

如果GG是个群，NN是GG的不变子群，那么映射f:G→G/Nf:G→G/N，f(a)=aNf(a)=aN，对任意a∈Ga∈G是满同态映射，且Ker(f)=NKer(f)=N。

同态基本定理：设(G,∗),(H,+)(G,∗),(H,+)都是群，ff是GG到HH的满同态映射，ker(f)=Kker(f)=K，那么有映射φ:G/K→Hφ:G/K→H，使得

φ(aK)=f(a),∀aK∈G/Kφ(aK)=f(a),∀aK∈G/K，并且，φφ是G/KG/K到HH的同构映射。