错排公式的推导及应用

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以下是原文：

之前就遇到过错排公式的题，但是自己没有注意这个知识点，以为只要硬记住就好啦，结果就是不知道推导过程完全记不住呀，所以今天认真整理一下错排公式相关的点。

错排公式的推导

考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排，n个元素的错排记为D(n)。下面就是求出D(n)为多少中排列。

首先我们拿第一个元素的放置来理解一下这个过程：把元素1放在除自己原来的位置以外的位置，共有(n-1)种，假设第一个元素被放在了第k个元素的位置上，对第k个元素而言就有两种情况要讨论了，第一种，它放在非第一个位置上，所以对于接下来的排列就相当于是n-1个元素的错排，即D(n-1)；第二种，它就放在第1个元素的位置上，所以排列D(n)中有两个元素已经找到位置了，那么接下来就只需要考虑n-2个元素的错排，即D(n-2)。由此，我们就可以写出递推式对于D(n)都有D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2))【特殊的情况 D(1)=0, D(2)=1】。

下面通过这个递推关系进行推导：

为了运算方便，我们设D(n)=n!*N(n)，则有：

n!N(n) = (n-1)(n-2)!N(n-2) + (n-1)(n-1)!N(n-1); 对两边同时除以(n-1)!，可得：

n*N(n) = N(n-2)+(n-1)*N(n-1)，移项：

N(n) - N(n-1) = (N(n-2) - N(n-1))/n = -(1/n)(N(n-1) - N(n-2))，所以，由此可以推出

N(n-1) - N(n-2) = -(1/(n-1))(N(n-2) - N(n-3))

……

N(2) - N(1) = 1/2;

由此，将每个式子相加得到：N(n) - N(1) = (1/2! - 1/3! + 1/4! - ……+((-1)^(n-1))/(n-1)! + (-1)^n/n!)

由于N(1) = 0，所以N(n) = (1/2! - 1/3! + 1/4! - …… +((-1)^(n-1))/(n-1)! + (-1)^n/n!)，于是可以得到：

错排公式D(n) = n!(1/2! - 1/3! + 1/4! - …… +((-1)^(n-1))/(n-1)! + (-1)^n/n!)。

错排公式的应用解题

【hdu2049】考新郎

题目描述

在一场盛大的集体婚礼中,为了使婚礼进行的丰富一些,司仪临时想出了有一个有意思的节目,叫做”考新郎”,具体的操作是这样的:

输入

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C行数据，每行包含两个整数N和M(1< M<=N<=20)

输出

对于每个测试实例，请输出一共有多少种发生这种情况的可能，每个实例的输出占一行。

示例输入

2

2 2

3 2

最开始做着题的时候就直接求解排列组合C(n,m)，没有考虑错排m个元素D(m)的问题，这里用上面的两种方法分别写出代码：

方法一：递推公式 D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2)) [D(1)=0，D(2)=1]

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

long long f[22];
void init()//错排
{
f[1]=0;
f[2]=1;
for(int i=3;i<=20;i++)
{
f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);
}
return ;
}

int c(int x, int y){
int n=x, m=y;
int sum=1,a=1,b=1;
for(int i=1;i<=y;i++)  {
a*=n;
n--;
b*=m;
m--;
}
sum=a/b;
return sum;
}

int main(){
int N,M;
init();
while(scanf("%d%d",&N,&M)!=EOF)
{

cout<<c(N,M)*f[M]<<endl;
}
return 0;
}

方法二：通项公式 D(n)=n!*(1/2!-1/3!+1/4!- 1/5!+ ··· ··· +((-1)^(n-1))/(n-1)!+((-1)^n)/n! )

对通项先进行简单变形：

C(n,m)D(m) = (n!/(m!(n-m)!))D(m) = n!(1/2!-1/3!+1/4!- 1/5!+ ··· ··· +((-1)^(m-1))/(m-1)!+((-1)^m)/m! )/(n-m)!

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
typedef long long ll;
using namespace std;

long long f[22];

int c(int n){
ll sum=1;
for(int i=1; i<=n; i++)
sum*=i;
return sum;
}

int main(){
int N,M;
while(scanf("%d%d",&N,&M)!=EOF)
{
ll a=c(N), sum=0, b=c(N-M);
for(int i=2; i<=M; ++i){
a/=i;
if(i%2==0)
sum+=a;
else
sum-=a;
}
cout<<sum/b<<endl;
}
return 0;
}

本文内容参考自：

http://blog.csdn.net/yangyuhao0408/article/details/50971170