【动态规划】牛顿爬楼梯问题

1.问题描述

一个人爬楼梯，每次只能爬1个或两个台阶，假设有n个台阶，那么这个人有多少种不同的爬楼梯方法

2.分析

如果n==1，显然只有从0->1一种方法f(1)=1；

如果n==2，那么有0->1->2、0->2两种方法f(2)=2;

如果n==3,那么可以先爬到第1阶，然后爬两个台阶，或者先爬到第二阶，然后爬一个台阶，显然f(3)=f(2)+f(1);

……

推广到一般情况，对于n(n>=3)个台阶,可以先爬到第n-1个台阶，然后再爬一个台阶，或者先爬到n-2个台阶，然后爬2个台阶，因此有f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

那么动态规划的递推公式和边界条件都有了，即：

3.程序代码

根据递推公式，可以写如下代码轻松解决问题:

long long fun(int n);
int main(int argc, const char * argv[]) {
    @autoreleasepool {
printf("%lld ",fun(80));
    }
    return 0;
}
int main()
{
    printf("%lld ",fun(80));
    return 0;
}
long long fun(int n)
{
    if(n==1)
        return 1;
    else if(n==2)
        return 2;
    else if(n>2)
        return fun(n-1)+fun(n-2);
}

注意：fun（80）的结果非常大，程序运行时间很长，测试的时候可以用小一点的数字测试。

虽然代码简单，但是显然这种方法实在是太耗时间了，递归函数多次重复计算中间结果。我们改进以下，开一个数组来保存中间结果。

#import <Foundation/Foundation.h>
long long fun(int n);
long long calc(long long step[],int n);
long long step[101]={0};
int main(int argc, const char * argv[]) {
    @autoreleasepool {
        int n =80;
        int i=1;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            printf("%lld ",calc(step,i));
        }
    }
    return 0;
}

long long calc(long long step[],int n)
{
    long long i;
    if(n<=0)
        return 0;
    step[0]=1;
    step[1]=1;
    if(n>=2&&step[n-1]>0&&step[n-2]>0)
    {
        step
= step[n-1] + step[n-2];
        return step
;
    }
    else if(n>=2)
    {
        for(i=2;i<=n;i++)
            step[i] = step[i-1]+step[i-2];
    }
    return step
;
}

运行结果：

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 102334155 165580141 267914296 433494437 701408733 1134903170 1836311903 2971215073 4807526976 7778742049 12586269025 20365011074 32951280099 53316291173 86267571272 139583862445 225851433717 365435296162 591286729879 956722026041 1548008755920 2504730781961 4052739537881 6557470319842 10610209857723 17167680177565 27777890035288 44945570212853 72723460248141 117669030460994 190392490709135 308061521170129 498454011879264 806515533049393 1304969544928657 2111485077978050 3416454622906707 5527939700884757 8944394323791464 14472334024676221 23416728348467685 37889062373143906